Errores en cálculo numérico
Por qué toda solución numérica es aproximada, las dos familias de error (redondeo y truncamiento) y cómo medirlo: error numérico, porcentual e iterativo.
Temario
Temario completo de métodos numéricos
Cada tema agrupa sus guías, deducciones y ejercicios. Las guías integran la deducción completa de cada método; los ejercicios están resueltos hasta el final.
Fundamentos numéricos
Errores, cifras significativas, redondeo, truncamiento, Taylor y orden de aproximación.
Interpolación
Newton, diferencias divididas, Lagrange, Hermite, splines y cotas de error.
Diferenciación numérica
Fórmulas progresivas, regresivas, centrales, alta precisión y Richardson.
Integración numérica
Punto medio, trapecio, Simpson, Newton-Cotes, Gauss-Legendre e integración múltiple.
EDO y problemas de valor inicial
Euler, Heun, Runge-Kutta, consistencia, estabilidad, convergencia y sistemas de primer orden.
Métodos multipaso y rigidez
Adams-Bashforth, Adams-Moulton, predictor-corrector, métodos implícitos y problemas rígidos.
Sistemas lineales
Residuo, condición, Jacobi, Gauss-Seidel, radio espectral, convergencia y SOR.
Ecuaciones no lineales
Bisección, punto fijo, Newton, secante, orden de convergencia y métodos de alto orden.
Sistemas no lineales
Jacobiano, Newton para sistemas, coste por iteración y esquemas de alto orden.
Fundamentos numéricos
Cifras significativas y redondeo
Cómo contar cifras significativas para números mayores y menores que 1 y en notación científica, y de dónde vienen los errores de redondeo de una máquina.
Taylor y el error de truncamiento
El teorema de Taylor y su residuo, por qué el residuo es el error de truncamiento, y cómo de aquí nacen las diferencias finitas que usará toda la asignatura.
Deducción: diferencias finitas desde Taylor
Cómo el desarrollo de Taylor truncado da las diferencias finitas progresiva, regresiva y central de la primera derivada.
Ejercicio: error de la aproximación sen x ≈ x
Cálculo del error numérico y porcentual al aproximar por .
Ejercicio: error iterativo con e^0.5
Aproximación de por su serie de Taylor añadiendo términos hasta que el error iterativo porcentual baja del 0.05 %.
Ejercicio: Taylor de cos(x) hasta orden 3
Desarrollo en serie de Taylor de cos(x) alrededor de cero tomando términos hasta orden 3.
Interpolación
Interpolación: idea, existencia y error
Qué es interpolar, por qué se usan polinomios, el teorema de Weierstrass, la unicidad del polinomio interpolador y la cota de error común a Newton, Lagrange y Hermite.
Interpolación de Newton y diferencias divididas
El polinomio de Newton construido por capas con diferencias divididas: forma lineal, cuadrática y general, tabla de diferencias, error y un ejemplo resuelto con datos reales.
Interpolación de Lagrange
Las funciones base de Lagrange, la propiedad cardinal que las define, el polinomio como combinación directa de los datos, su error y un ejemplo resuelto con los datos del censo.
Interpolación de Hermite
Interpolación que impone valor y derivada en cada nodo: el polinomio , su construcción a partir de las bases de Lagrange, el error, la vía práctica por diferencias divididas con nodos repetidos y un ejemplo con funciones de Bessel.
Splines cúbicos
Interpolación a trozos con un cúbico por tramo: las condiciones de continuidad, el sistema tridiagonal que determina los coeficientes, los splines naturales y su resolución.
Deducción: coeficientes de Newton por diferencias divididas
De dónde salen y al forzar que el polinomio pase por los puntos, y cómo la recursión genera todos los coeficientes de orden superior.
Deducción: funciones base de Lagrange
Cómo la exigencia de valer 1 en un nodo y 0 en los demás obliga a la forma de producto de las funciones .
Ejercicio: Hermite con la función de Bessel
Construcción completa del polinomio de Hermite de grado 5 con tres nodos para aproximar , paso a paso.
Ejercicio: Newton con datos de población
Tabla de diferencias divididas completa para el censo 1971–2011 y estimación de la población en 2005 con el polinomio de Newton de grado 4.
Ejercicio: Lagrange con datos de población
Construcción de las funciones base de Lagrange para el censo 1971–2011 y estimación de la población en 2005, comparada con Newton.
Diferenciación numérica
Diferencias finitas: la primera derivada
Fórmulas progresiva, regresiva y central para la primera derivada, sus versiones de tres y cinco puntos, el orden del error y una comparación numérica que sorprende.
Derivadas de orden superior
Aproximaciones de la segunda (y tercera) derivada por diferencias finitas progresivas, regresivas y centrales, con su orden de error.
Extrapolación de Richardson
Cómo combinar dos aproximaciones con pasos y para cancelar el término de error dominante y subir el orden, con las fórmulas para todos los términos y para potencias pares.
Deducción: progresiva de tres puntos O(h²)
Cómo combinar dos desarrollos de Taylor para eliminar la segunda derivada y obtener una diferencia progresiva de orden 2 para la primera derivada.
Deducción: Richardson sube el orden
De la forma del error a la fórmula de extrapolación: por qué combinar y elimina el término .
Ejercicio: comparar fórmulas de la derivada
Cálculo de para con las seis fórmulas de diferencias finitas y comparación de sus errores frente al valor exacto .
Ejercicio: Richardson sobre ln(x)
Aproximación de para con diferencias progresivas y mejora a mediante extrapolación de Richardson.
Integración numérica
Cuadratura numérica desde Lagrange
La idea general de la integración numérica: aproximar una integral por una suma ponderada de valores de la función, deducida al integrar el polinomio de Lagrange.
Newton-Cotes cerradas: trapecio, Simpson y más
Reglas cerradas para nodos equiespaciados que incluyen los extremos: trapecio, Simpson 1/3, Simpson 3/8, Milne y sus errores.
Newton-Cotes abiertas y punto medio
Reglas abiertas que evitan los extremos del intervalo, con especial atención al punto medio simple y compuesto.
Cuadraturas de Gauss
Cómo las cuadraturas de Gauss eligen nodos y pesos óptimos mediante polinomios ortogonales: Legendre, Chebyshev, Laguerre y Hermite.
Integración múltiple numérica
Cómo extender trapecio, Simpson y Gauss-Legendre a integrales dobles mediante reglas de producto y cambios de variable.
Deducción: regla del trapecio
Integrar el interpolante lineal de Lagrange en [a,b] para obtener la regla del trapecio y su interpretación geométrica.
Deducción: trapecio compuesto
De sumar trapecios simples en n subintervalos a los pesos 1,2,...,2,1 y al error global.
Deducción: punto medio simple
Sustituir la función por una altura central y obtener la regla del rectángulo centrado con su error.
Deducción: punto medio compuesto
Generalizar el punto medio a n subintervalos usando los centros de cada bloque y sumar sus errores locales.
Deducción: Simpson 1/3
De tres nodos equiespaciados a los pesos 1, 4, 1 de Simpson integrando el polinomio cuadrático de Lagrange.
Deducción: Gauss-Legendre de dos puntos
Cómo imponer exactitud hasta grado 3 para obtener los nodos y pesos 1 en .
Ejercicio: trapecio y Simpson en una integral suave
Aproximación de la integral de entre 0 y con 4 y 8 subintervalos, comparando errores.
Ejercicio: trapecio y punto medio
Comparación de trapecio compuesto, punto medio simple y punto medio compuesto, con errores absolutos y relativos.
Ejercicio: trabajo con datos tabulados
Cálculo del trabajo integrando F(x)cos(alpha(x)) a partir de una tabla, con trapecio, Simpson y punto medio.
Ejercicio: Gauss-Legendre en un intervalo general
Cambio de variable de [1,1.5] a [-1,1] y aplicación de Gauss-Legendre con n=2 y n=3.
Ejercicio: Gauss-Chebyshev y cota de error
Determinar cuántos nodos garantizan seis decimales en una integral con peso de Chebyshev.
Ejercicio: integral doble con Gauss-Legendre
Transformar un rectángulo a [-1,1]×[-1,1] y resolver una integral doble con n=m=3.
Ejercicio: integral doble de una superficie
Comparación entre Simpson doble y Gauss-Legendre para una integral derivada de la semiesfera .
EDO: valor inicial y multipaso
Problemas de valor inicial
Qué es un PVI, cuándo tiene solución única (condición de Lipschitz), cómo se discretiza, y cómo los sistemas y las ecuaciones de orden superior se reducen al mismo esquema.
Método de Euler
El método de un paso más simple: avanzar con la pendiente del nodo actual. Deducción completa por tres caminos (Taylor, cociente incremental e integración), orden, ejemplo a mano y la variante implícita.
Método de Heun
Promediar la pendiente inicial y una pendiente predicha da un método de orden 2. Deducción completa por Taylor de orden dos y por la regla del trapecio con predicción de Euler.
Método de Runge-Kutta (RK4)
El Runge-Kutta clásico combina cuatro pendientes por paso para alcanzar orden 4. Deducción completa a partir de la regla de Simpson y extensión directa a sistemas de EDO.
Convergencia, consistencia y orden
Errores de truncamiento local y global, definición de convergencia y consistencia, órdenes teóricos de los métodos de un paso y cómo estimar el orden numéricamente, con o sin solución exacta.
Métodos de Adams-Bashforth
Métodos multipaso explícitos que integran la EDO aproximando f por su polinomio de interpolación sobre nodos ya calculados: deducción completa de AB2 con Lagrange, las fórmulas AB3 y AB4, su orden y cómo arrancarlos.
Métodos de Adams-Moulton
Métodos multipaso implícitos que incluyen el nodo nuevo en la interpolación: deducción completa de AM2 (trapecio implícito), AM4, por qué exigen resolver una ecuación no lineal y qué ganan a cambio.
Métodos predictor-corrector
Combinar un método explícito (predictor) con uno implícito del mismo orden (corrector) para tener la precisión y estabilidad del implícito sin resolver ecuaciones: ABM2 y ABM4.
Problemas rígidos y estabilidad
Qué hace rígida a una EDO, por qué los métodos explícitos se vuelven inestables con pocos puntos, y por qué se prefieren métodos implícitos, de orden bajo y paso adaptativo.
Deducción: método de Euler y su orden
Tres caminos independientes llevan a la fórmula de Euler (Taylor, cociente incremental e integración), y el análisis del resto de Taylor demuestra que el método es de orden 1.
Deducción: Euler implícito
Aproximar la derivada en el nodo nuevo con una diferencia regresiva produce el método de Euler implícito y la ecuación no lineal que hay que resolver en cada paso.
Deducción: método de Heun
Deducción completa de Heun: por el desarrollo de Taylor hasta orden dos combinado con el Taylor en dos variables de f, y por la regla del trapecio con predicción de Euler.
Deducción: Runge-Kutta de orden 4
Aplicar la regla de Simpson a la forma integral del PVI y aproximar las pendientes desconocidas con evaluaciones internas encadenadas produce el RK4 clásico y explica sus pesos 1, 2, 2, 1.
Deducción: Adams-Bashforth de 2 pasos (AB2)
Construcción completa de AB2: forma integral del PVI, interpolante de Lagrange de f en los dos nodos previos, cambio de variable, integrales calculadas término a término, error local y generalización a AB3 y AB4.
Deducción: Adams-Moulton de un paso (AM2)
Construcción completa de AM2: interpolante de Lagrange que incluye el nodo nuevo, cambio de variable, pesos 1/2-1/2 calculados, conexión con la regla del trapecio y error local.
Ejercicio: Euler y RK4 a mano en una EDO de primer orden
Despejar y'=f(t,y) en una EDO dada en forma implícita y aproximar y(3) con dos pasos de Euler y con un paso de RK4, comparando ambos resultados.
Ejercicio: EDO de segundo orden como sistema, a mano
Reducir y''−sin y=0 a un sistema de primer orden y aproximar y(3) con dos pasos de Euler y con un paso de RK4 vectorial.
Ejercicio: estimación numérica del orden (Euler, Heun, RK4)
Sobre el mismo PVI logístico se estima el orden de Euler con la solución exacta, el de Heun comparando mallas sucesivas sin solución exacta, y el de RK4, confirmando los órdenes 1, 2 y 4.
Ejercicio: estabilidad de Euler explícito e implícito
Análisis completo de : factor de amplificación de cada método, condición de estabilidad del explícito, estabilidad incondicional del implícito y comprobación numérica con .
Ejercicio: el modelo SIR con Euler, Heun y RK4
Integración del sistema epidémico SIR con los tres métodos de un paso sobre la misma malla, comparando cómo el orden del método cambia visiblemente los resultados.
Ejercicio: AB2 y estimación del orden
Resolución de un PVI logístico (Verhulst) con AB2 arrancado con Heun y estimación numérica del orden duplicando el número de subintervalos.
Ejercicio: explícitos frente a predictor-corrector
Comparación del error máximo de AB2, AB4 y los predictor-corrector ABM2 y ABM4 sobre el mismo PVI de Verhulst.
Sistemas lineales
Sistemas lineales: error, residuo y condición
Métodos directos frente a iterativos para Ax=b, la diferencia entre error y residuo, el criterio de parada por residuo y por qué el número de condición decide si es fiable.
Método de Jacobi
La partición A=L+D+U, la elección M=D que define Jacobi, su esquema iterativo por componentes y un ejemplo resuelto.
Método de Gauss-Seidel
La elección M=D+L, que reutiliza cada componente recién calculada dentro de la misma iteración, y por qué suele converger más rápido que Jacobi.
Convergencia y radio espectral
La condición que decide la convergencia, el criterio suficiente de diagonal estrictamente dominante y el radio de convergencia que mide la velocidad.
Métodos de sobre-relajación (SOR)
Cómo un parámetro de relajación ω acelera los métodos clásicos: Jacobi relajado (JSOR) y SOR, que generaliza Gauss-Seidel (ω=1).
Deducción: matriz de iteración de Jacobi
De despejar cada incógnita de su ecuación a la forma matricial x=−D⁻¹(L+U)x+D⁻¹b.
Ejercicio: Jacobi y Gauss-Seidel comparados
Resolución de un sistema 4×4 con Jacobi y con Gauss-Seidel desde x⁰=0, comparando cuántas iteraciones necesita cada uno para la misma tolerancia.
Ejercicio: convergencia por radio espectral
Una matriz no diagonal dominante donde Jacobi diverge pero Gauss-Seidel converge, decidido calculando el radio espectral de cada matriz de iteración.
Ecuaciones no lineales
Ecuaciones no lineales: el problema y los métodos iterativos
Qué significa resolver , por qué se recurre a métodos iterativos, cómo se clasifican (memoria, puntos, derivadas) y con qué criterios se detiene la iteración.
Método de bisección
El método más robusto: partir en dos el intervalo que encierra la raíz y quedarse con la mitad donde cambia el signo. Cota de error explícita y convergencia garantizada.
Iteración de punto fijo
Reescribir como e iterar: cuándo converge (), a qué velocidad, y el teorema que da el orden del método según las derivadas de que se anulan en la solución.
Método de Newton-Raphson
El método iterativo de referencia: linealizar f en el iterado actual y saltar a la raíz de la tangente. Deducción completa por tres caminos y demostración del orden cuadrático con su ecuación del error.
Métodos sin derivadas: secante y Steffensen
Cuando no está disponible se sustituye por una diferencia dividida: con dos iterados anteriores (secante, orden ) o con una evaluación auxiliar (Steffensen, orden 2).
Orden de convergencia y eficiencia
Definición del orden de convergencia y la ecuación del error, sus estimadores computacionales COC y ACOC, los índices de eficiencia y la conjetura de Kung-Traub que define los métodos óptimos.
Métodos de alto orden: Halley, Traub, Ostrowski y Jarratt
Tres técnicas para diseñar métodos iterativos más rápidos que Newton: fórmulas de cuadratura, composición de esquemas (con derivada congelada) y funciones peso, con las familias Chebyshev-Halley y King.
Deducción: Newton-Raphson y su orden cuadrático
La fórmula de Newton por la recta tangente y por el Teorema Fundamental del Cálculo, y la demostración completa con Taylor de que su ecuación del error es cuadrática.
Deducción: cota de error de la bisección
Por qué el error de la bisección se reduce a la mitad en cada iteración, y cómo predecir de antemano cuántas iteraciones exige una tolerancia dada.
Deducción: convergencia y orden del punto fijo
Desarrollar por Taylor alrededor del punto fijo produce la ecuación del error del método y demuestra a la vez el criterio y el teorema del orden.
Ejercicio: bisección a mano
Seis iteraciones de bisección para cos²x−x=0 en [0,1], con la cadena de intervalos, la cota de error en cada paso y la predicción del número de iteraciones necesarias.
Ejercicio: Newton sobre x=cos²x
Aplicación completa del método de Newton a x=cos²x desde x0=0.3: tabla de iterados, residuos, incrementos y ACOC tendiendo al orden teórico 2.
Ejercicio: la secante a mano
El método de la secante aplicado a cos²x−x=0 desde x0=0, x1=1: cinco iteraciones con las diferencias divididas explícitas y la convergencia superlineal a la vista.
Ejercicio: comparativa numérica de métodos iterativos
Newton, Halley, Ostrowski, Traub, punto medio, Jarratt y Newton doble sobre funciones de prueba con tolerancia 10⁻¹⁰⁰: iteraciones, residuos y ACOC confirmando los órdenes teóricos.
Sistemas no lineales
Sistemas de ecuaciones no lineales
El problema en varias variables: métodos de punto fijo vectoriales, orden de convergencia con normas, ACOC multidimensional y criterios de parada.
Newton para sistemas no lineales
La versión vectorial del método de Newton: la derivada pasa a ser la matriz jacobiana, el cociente se convierte en un sistema lineal por iteración, y el orden cuadrático se conserva.
Coste y eficiencia en dimensión n
Contabilidad del coste por iteración en sistemas: evaluaciones por , por jacobiano, coste de los sistemas lineales, índices de eficiencia y la conjetura de optimalidad multidimensional.
Alto orden en sistemas: Traub, Golden Ratio, NA, Jarratt y RN
Composición con Newton y jacobiano congelado: cómo ganar un orden por composición sin evaluar jacobianos nuevos, y las familias Traub, Golden Ratio, NA, Jarratt vectorial y RN (orden 5-6).
Deducción: Newton para sistemas por linealización
El desarrollo de Taylor multivariante de primer orden linealiza F alrededor del iterado actual; anular esa linealización da el paso de Newton, con el jacobiano en el papel de la derivada.
Ejercicio: Newton para un sistema, a mano
Dos pasos de Newton a mano sobre el sistema , : montaje del jacobiano, resolución del sistema lineal de cada paso y convergencia cuadrática visible hacia .
Ejercicio: Newton en un sistema 2×2 con tabla de iteraciones
Resolución completa de , con Newton desde : tabla de iterados, normas del residuo e incremento, y ACOC estabilizándose en 2.
Ejercicio: comparativa numérica en sistemas
Newton, Trapecios, Golden Ratio, NA, Jarratt y RN sobre dos sistemas de prueba con tolerancia 10⁻¹²: iteraciones, normas y ACOC, con RN (orden 6) como método más eficaz.