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Método de bisección

El método más robusto: partir en dos el intervalo que encierra la raíz y quedarse con la mitad donde cambia el signo. Cota de error explícita y convergencia garantizada.

La idea: encerrar la raíz

Algoritmo de bisección

Se calcula el punto medio $m_k=\frac{a_k+b_k}{2}$ del intervalo actual.
Si $f(a_k)\,f(m_k)<0$ , la raíz está en la mitad izquierda: el nuevo intervalo es $[a_k,m_k]$ . En caso contrario está en $[m_k,b_k]$ . (Si $f(m_k)=0$ , se ha encontrado la raíz exacta.)
Se repite hasta que la longitud del intervalo (o $|f(m_k)|$ ) baje de la tolerancia. La aproximación es el último punto medio.

Cota de error y velocidad

DeducciónDeducción: cota de error de la bisecciónVer como página propia →

Tras $k$ bisecciones, el intervalo $[a_k,b_k]$ sigue conteniendo la raíz y mide la mitad que el anterior:
$b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}$
La aproximación es el punto medio $m_k$ , y la raíz está en alguna de las dos mitades, a distancia como mucho la mitad del intervalo:
$|m_k-\alpha|\le\frac{b_k-a_k}{2}=\frac{b-a}{2^{k+1}}$
Para garantizar $|m_k-\alpha|<\varepsilon$ basta despejar $k$ de $\frac{b-a}{2^{k+1}}<\varepsilon$ : el número de iteraciones se conoce antes de empezar, cosa que ningún otro método de esta área ofrece.
$k>\log_2\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1$

Cada iteración gana un bit de precisión (reduce el error a la mitad), lo que equivale a una cifra decimal cada $\log_2 10\approx 3.3$ iteraciones. Es lento comparado con Newton, pero no exige derivadas, solo continuidad y un cambio de signo, y no diverge. Se usa a menudo para localizar la raíz y dar una estimación inicial fiable a un método rápido.