GuíaIntegraciónavanzado

Integración múltiple numérica

Cómo extender trapecio, Simpson y Gauss-Legendre a integrales dobles mediante reglas de producto y cambios de variable.

De una integral a dos

En un rectángulo R=[a,b]×[c,d], una integral doble puede verse como una integral exterior de integrales interiores. Eso permite aplicar una regla unidimensional en y y después otra en x.

∬Rf(x,y) dA=∫ab(∫cdf(x,y) dy)dx\iint_R f(x,y)\,dA=\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx

Trapecio doble

Si h=(b-a)/n y k=(d-c)/m, aplicar trapecio en ambas direcciones produce pesos producto: las esquinas pesan 1, los bordes 2 y los interiores 4, multiplicados por hk/4.

I≈hk4∑i=0n∑j=0mαiβjf(xi,yj)I\approx\frac{hk}{4}\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\alpha_i\beta_j f(x_i,y_j)
Tipo de nodoPeso alpha_i beta_j
Esquina / Izkina / Corner1
Borde no esquina / Ertza ez izkina / Edge not corner2
Interior / Barrukoa / Interior4

Gauss-Legendre doble

Para Gauss-Legendre se transforma cada variable a [-1,1]. En un rectángulo, el factor delante de la suma es el producto de los dos jacobianos.

∫ab∫cdf(x,y) dy dx≈b−a2d−c2∑i=1n∑j=1mcicjf(xi∗,yj∗)\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx\approx\frac{b-a}{2}\frac{d-c}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}c_i c_j f(x_i^*,y_j^*)