DeducciónSistemas linealesmedio

Deducción: matriz de iteración de Jacobi

De despejar cada incógnita de su ecuación a la forma matricial x=−D⁻¹(L+U)x+D⁻¹b.

Despejar y ordenar en matrices

  1. En cada ecuación ii despejamos xix_i (posible porque aii≠0a_{ii}\ne 0):

    xi=1aii(bi−∑j≠iaijxj)x_i=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j\right)

  2. Escribiendo esto para todas las filas y separando la diagonal D de las partes L y U, aparece la forma matricial:

    x=D−1(b−(L+U)x)=−D−1(L+U)x+D−1bx=D^{-1}\bigl(b-(L+U)x\bigr)=-D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b

  3. Como iteración, es el esquema de Jacobi con matriz de iteración H_J=−D⁻¹(L+U):

    x(k+1)=−D−1(L+U)x(k)+D−1bx^{(k+1)}=-D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b