EjercicioEcuaciones no linealesmedio

Ejercicio: la secante a mano

El método de la secante aplicado a cos²x−x=0 desde x0=0, x1=1: cinco iteraciones con las diferencias divididas explícitas y la convergencia superlineal a la vista.

Resolución

EjemploSecante con x₀=0, x₁=1

Aproximar la raíz de f(x)=cos⁡2x−xf(x)=\cos^2 x-x con el método de la secante partiendo de x0=0x_0=0 y x1=1x_1=1.

  1. Valores iniciales: f(0)=1f(0)=1 y f(1)=−0.7081f(1)=-0.7081. La primera diferencia dividida es f[x1,x0]=f(1)−f(0)1−0=−1.7081f[x_1,x_0]=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=-1.7081, y:

    x2=x1−f(x1)f[x1,x0]=1−−0.7081−1.7081=0.585455x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f[x_1,x_0]}=1-\frac{-0.7081}{-1.7081}=0.585455

  2. Con f(x2)=0.10924f(x_2)=0.10924: f[x2,x1]=0.10924−(−0.7081)0.585455−1=−1.9721f[x_2,x_1]=\frac{0.10924-(-0.7081)}{0.585455-1}=-1.9721, luego x3=0.585455−0.10924−1.9721=0.640845x_3=0.585455-\frac{0.10924}{-1.9721}=0.640845.

  3. Dos iteraciones más siguen el mismo patrón: x4=0.641722x_4=0.641722 (residuo 1.6⋅10−51.6\cdot 10^{-5}) y x5=0.6417144x_5=0.6417144 (residuo 2.0⋅10−92.0\cdot 10^{-9}).

En cuatro iteraciones útiles el residuo cae de 10−110^{-1} a 10−910^{-9} sin evaluar ninguna derivada. La cadencia de los exponentes (−1,−3,−5,−9-1,-3,-5,-9) refleja el orden superlineal p≈1.618p\approx 1.618: más lento que Newton, mucho más rápido que la bisección.