DeducciónSistemas no linealesmedio

Deducción: Newton para sistemas por linealización

El desarrollo de Taylor multivariante de primer orden linealiza F alrededor del iterado actual; anular esa linealización da el paso de Newton, con el jacobiano en el papel de la derivada.

Linealizar y anular

  1. La matriz jacobiana reúne todas las derivadas parciales primeras de las funciones coordenadas:

    F′(X)=[∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋮∂fn∂x1⋯∂fn∂xn]F'(X)=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}

  2. El desarrollo de Taylor multivariante de primer orden alrededor del iterado actual x(k)x^{(k)} es la versión vectorial de la recta tangente de la deducción escalar:

    F(X)≈F(x(k))+F′(x(k))(X−x(k))F(X)\approx F\bigl(x^{(k)}\bigr)+F'\bigl(x^{(k)}\bigr)\bigl(X-x^{(k)}\bigr)

  3. Buscamos el punto que anula esa aproximación lineal (el análogo de cortar el eje con la tangente). Igualando a cero y despejando, con la inversa del jacobiano en lugar del cociente:

    x(k+1)=x(k)−[F′(x(k))]−1F(x(k))x^{(k+1)}=x^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F\bigl(x^{(k)}\bigr)

Ejemplo: montar F y su jacobiano

EjemploUn sistema 2×2

Escribir en la forma F(X)=0F(X)=0 el sistema exey+xcos⁡y=0e^xe^y+x\cos y=0, x+y=1x+y=1, y calcular su matriz jacobiana.

  1. Se pasa todo al lado izquierdo:

    F(X)=[exey+xcos⁡yx+y−1]=[00]F(X)=\begin{bmatrix} e^xe^y+x\cos y\\ x+y-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

  2. Derivando cada componente respecto de cada variable:

    F′(X)=[exey+cos⁡yexey−xsin⁡y11]F'(X)=\begin{bmatrix} e^xe^y+\cos y & e^xe^y-x\sin y\\ 1 & 1 \end{bmatrix}

Este sistema se resuelve con Newton en el ejercicio resuelto. Obsérvese que sobre la restricción x+y=1x+y=1 se cumple exey=ex+y=ee^xe^y=e^{x+y}=e: en la solución, xcos⁡(1−x)=−ex\cos(1-x)=-e.