DeducciónEDOavanzado

Deducción: Adams-Bashforth de 2 pasos (AB2)

Construcción completa de AB2: forma integral del PVI, interpolante de Lagrange de f en los dos nodos previos, cambio de variable, integrales calculadas término a término, error local y generalización a AB3 y AB4.

Paso 1: la forma integral

tₖ₋₁tₖtₖ₊₁fₖ₋₁fₖpendientes conocidasextrapolaciónintegrar aquíp₁(t)
La recta de Lagrange se construye con las pendientes ya calculadas y después se usa fuera de sus nodos: por eso Adams-Bashforth es explícito y extrapolador.
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La recta de Lagrange se construye con las pendientes ya calculadas y después se usa fuera de sus nodos: por eso Adams-Bashforth es explícito y extrapolador.

  1. Partimos del PVI y′(t)=f(t,y(t))y'(t)=f(t,y(t)). Integramos ambos lados entre tkt_k y tk+1t_{k+1}:

    ∫tktk+1y′(τ) dτ=∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ\int_{t_k}^{t_{k+1}} y'(\tau)\,d\tau=\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  2. Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo al lado izquierdo se obtiene la forma integral exacta. Todavía no hay ninguna aproximación:

    y(tk+1)=y(tk)+∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτy(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  3. El integrando completo es desconocido porque depende de la solución exacta, pero sus valores aproximados en los nodos anteriores sí se conocen: fk−1=f(tk−1,yk−1)f_{k-1}=f(t_{k-1},y_{k-1}) y fk=f(tk,yk)f_k=f(t_k,y_k). AB2 nace de aproximar f(τ,y(τ))f(\tau,y(\tau)) con esos dos datos.

Paso 2: interpolar f con Lagrange

  1. Construimos el polinomio de grado 1 que interpola los valores fk−1f_{k-1} y fkf_k usando la base de Lagrange. Como tk−tk−1=ht_k-t_{k-1}=h y tk−1−tk=−ht_{k-1}-t_k=-h, las bases quedan:

    Lk−1(τ)=τ−tktk−1−tk=tk−τh,Lk(τ)=τ−tk−1tk−tk−1=τ−tk−1hL_{k-1}(\tau)=\frac{\tau-t_k}{t_{k-1}-t_k}=\frac{t_k-\tau}{h},\qquad L_k(\tau)=\frac{\tau-t_{k-1}}{t_k-t_{k-1}}=\frac{\tau-t_{k-1}}{h}

  2. El interpolante de Lagrange es la combinación de los valores con su base. Es la recta que coincide con las pendientes conocidas en los dos nodos:

    p1(τ)=fk−1 tk−τh+fk τ−tk−1h=fk τ−tk−1h−fk−1 τ−tkhp_1(\tau)=f_{k-1}\,\frac{t_k-\tau}{h}+f_k\,\frac{\tau-t_{k-1}}{h}=f_k\,\frac{\tau-t_{k-1}}{h}-f_{k-1}\,\frac{\tau-t_k}{h}

  3. Los nodos de interpolación son tk−1t_{k-1} y tkt_k, pero el intervalo de integración es [tk, tk+1][t_k,\,t_{k+1}]. Al extrapolar el polinomio fuera de sus nodos, el método queda explícito.

Paso 3: cambio de variable e integración

  1. Para integrar, hacemos el cambio que aparece en los apuntes: s=τ−tks=\tau-t_k, es decir, τ=tk+s\tau=t_k+s y dτ=dsd\tau=ds. Cuando τ=tk\tau=t_k, s=0s=0; cuando τ=tk+1\tau=t_{k+1}, s=hs=h. Además:

    τ−tk−1=s+h,τ−tk=s\tau-t_{k-1}=s+h,\qquad \tau-t_k=s

  2. Sustituimos f(τ,y(τ))f(\tau,y(\tau)) por el interpolante p1p_1 en la integral. Con el cambio anterior, la recta queda escrita como:

    p1(tk+s)=fk s+hh−fk−1 shp_1(t_k+s)=f_k\,\frac{s+h}{h}-f_{k-1}\,\frac{s}{h}

  3. Integramos las dos partes por separado. La parte de fkf_k aporta 3h2\frac{3h}{2} y la de fk−1f_{k-1} aporta h2\frac{h}{2} con signo negativo:

    ∫0hfks+hh ds=fk1h[s22+hs]0h=3h2fk∫0hfk−1sh ds=fk−11h[s22]0h=h2fk−1\begin{aligned} \int_0^h f_k\frac{s+h}{h}\,ds&=f_k\frac{1}{h}\Bigl[\frac{s^2}{2}+hs\Bigr]_0^h=\frac{3h}{2}f_k\\ \int_0^h f_{k-1}\frac{s}{h}\,ds&=f_{k-1}\frac{1}{h}\Bigl[\frac{s^2}{2}\Bigr]_0^h=\frac{h}{2}f_{k-1} \end{aligned}

  4. Por tanto, la integral aproximada sobre el paso nuevo es:

    ∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ≈∫tktk+1p1(τ) dτ=h2(3fk−fk−1)\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau\approx\int_{t_k}^{t_{k+1}} p_1(\tau)\,d\tau=\frac{h}{2}\bigl(3f_k-f_{k-1}\bigr)

  5. Sustituyendo en la forma integral exacta y usando y(tk)≈yky(t_k)\approx y_k aparece la fórmula de Adams-Bashforth de dos pasos:

    yk+1=yk+h2(3fk−fk−1)y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}\bigl(3f_k-f_{k-1}\bigr)

Paso 4: error y orden

  1. El error local es la integral del error de interpolación de p1p_1. Para el interpolante lineal, f(τ)−p1(τ)=f′′(ξ)2(τ−tk−1)(τ−tk)f(\tau)-p_1(\tau)=\frac{f''(\xi)}{2}(\tau-t_{k-1})(\tau-t_k); con el cambio de variable, (τ−tk−1)(τ−tk)=h2 s(s+1)(\tau-t_{k-1})(\tau-t_k)=h^2\,s(s+1) y ∫01s(s+1) ds=56\int_0^1 s(s+1)\,ds=\frac{5}{6}:

    ek+1=h⋅y′′′(ξ)2⋅h2⋅56=512 h3 y′′′(ξ)=O(h3)e_{k+1}=h\cdot\frac{y'''(\xi)}{2}\cdot h^2\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{12}\,h^3\,y'''(\xi)=\mathcal{O}(h^3)

  2. El error global pierde una potencia al acumular N∝1/hN\propto 1/h pasos: AB2 es de orden 2, igual que Heun, pero con una sola evaluación nueva de ff por paso. La estimación numérica del orden lo confirma.

De AB2 a AB3 y AB4

La misma receta con más nodos produce toda la familia: interpolar ff en tk,tk−1,tk−2t_k,t_{k-1},t_{k-2} con un polinomio cuadrático y repetir los pasos 3-4 da AB3 (con integrales como ∫01(s+1)(s+2)2ds=2312\int_0^1\frac{(s+1)(s+2)}{2}ds=\frac{23}{12}); con cuatro nodos y un cúbico sale AB4. Cada nodo adicional sube el grado del interpolante y, con él, el orden del método.