DeducciónIntegraciónmedio

Deducción: punto medio compuesto

Generalizar el punto medio a n subintervalos usando los centros de cada bloque y sumar sus errores locales.

Sumar rectángulos centrados

anchura hx₀x₁x₂x₃xₙm₀m₁m₂mᵢalturas f(m_i)
Cada rectángulo tiene anchura hh y altura f(mi)f(m_i).
Ampliar diagrama

Cada rectángulo tiene anchura hh y altura f(mi)f(m_i).

Fórmula para n subintervalos

  1. Dividimos [a,b][a,b] con paso hh:

    xi=a+ih,h=b−anx_i=a+ih,\qquad h=\frac{b-a}{n}

  2. El centro del subintervalo [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] es:

    mi=xi+xi+12=a+(i+12)hm_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}=a+\left(i+\frac12\right)h

  3. Aplicamos punto medio simple en cada subintervalo:

    Mi=hf(mi)M_i=h f(m_i)

  4. Sumamos todos los rectángulos:

    Mn=h∑i=0n−1f(mi)M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f(m_i)

  5. Sustituyendo la expresión de mim_i queda la forma computable:

    Mn=h∑i=0n−1f ⁣(a+(i+12)h)M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f\!\left(a+\left(i+\frac12\right)h\right)

  6. El error global se obtiene sumando los errores locales del punto medio simple:

    EM=h324∑i=0n−1f′′(ξi)=b−a24h2f′′(ξ)\begin{aligned}E_M&=\frac{h^3}{24}\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i)\\&=\frac{b-a}{24}h^2f''(\xi)\end{aligned}