Deducción: diferencias finitas desde Taylor
Cómo el desarrollo de Taylor truncado da las diferencias finitas progresiva, regresiva y central de la primera derivada.
Deducciones
Cómo se obtiene cada fórmula, paso a paso.
Fundamentos
Interpolación
Deducción: coeficientes de Newton por diferencias divididas
De dónde salen y al forzar que el polinomio pase por los puntos, y cómo la recursión genera todos los coeficientes de orden superior.
Deducción: funciones base de Lagrange
Cómo la exigencia de valer 1 en un nodo y 0 en los demás obliga a la forma de producto de las funciones .
Diferenciación
Deducción: progresiva de tres puntos O(h²)
Cómo combinar dos desarrollos de Taylor para eliminar la segunda derivada y obtener una diferencia progresiva de orden 2 para la primera derivada.
Deducción: Richardson sube el orden
De la forma del error a la fórmula de extrapolación: por qué combinar y elimina el término .
Integración
Deducción: regla del trapecio
Integrar el interpolante lineal de Lagrange en [a,b] para obtener la regla del trapecio y su interpretación geométrica.
Deducción: trapecio compuesto
De sumar trapecios simples en n subintervalos a los pesos 1,2,...,2,1 y al error global.
Deducción: punto medio simple
Sustituir la función por una altura central y obtener la regla del rectángulo centrado con su error.
Deducción: punto medio compuesto
Generalizar el punto medio a n subintervalos usando los centros de cada bloque y sumar sus errores locales.
Deducción: Simpson 1/3
De tres nodos equiespaciados a los pesos 1, 4, 1 de Simpson integrando el polinomio cuadrático de Lagrange.
Deducción: Gauss-Legendre de dos puntos
Cómo imponer exactitud hasta grado 3 para obtener los nodos y pesos 1 en .
EDO
Deducción: método de Euler y su orden
Tres caminos independientes llevan a la fórmula de Euler (Taylor, cociente incremental e integración), y el análisis del resto de Taylor demuestra que el método es de orden 1.
Deducción: Euler implícito
Aproximar la derivada en el nodo nuevo con una diferencia regresiva produce el método de Euler implícito y la ecuación no lineal que hay que resolver en cada paso.
Deducción: método de Heun
Deducción completa de Heun: por el desarrollo de Taylor hasta orden dos combinado con el Taylor en dos variables de f, y por la regla del trapecio con predicción de Euler.
Deducción: Runge-Kutta de orden 4
Aplicar la regla de Simpson a la forma integral del PVI y aproximar las pendientes desconocidas con evaluaciones internas encadenadas produce el RK4 clásico y explica sus pesos 1, 2, 2, 1.
Deducción: Adams-Bashforth de 2 pasos (AB2)
Construcción completa de AB2: forma integral del PVI, interpolante de Lagrange de f en los dos nodos previos, cambio de variable, integrales calculadas término a término, error local y generalización a AB3 y AB4.
Deducción: Adams-Moulton de un paso (AM2)
Construcción completa de AM2: interpolante de Lagrange que incluye el nodo nuevo, cambio de variable, pesos 1/2-1/2 calculados, conexión con la regla del trapecio y error local.
Sistemas lineales
Deducción: matriz de iteración de Jacobi
De despejar cada incógnita de su ecuación a la forma matricial x=−D⁻¹(L+U)x+D⁻¹b.
Ecuaciones no lineales
Deducción: Newton-Raphson y su orden cuadrático
La fórmula de Newton por la recta tangente y por el Teorema Fundamental del Cálculo, y la demostración completa con Taylor de que su ecuación del error es cuadrática.
Deducción: cota de error de la bisección
Por qué el error de la bisección se reduce a la mitad en cada iteración, y cómo predecir de antemano cuántas iteraciones exige una tolerancia dada.
Deducción: convergencia y orden del punto fijo
Desarrollar por Taylor alrededor del punto fijo produce la ecuación del error del método y demuestra a la vez el criterio y el teorema del orden.
Sistemas no lineales
Deducción: Newton para sistemas por linealización
El desarrollo de Taylor multivariante de primer orden linealiza F alrededor del iterado actual; anular esa linealización da el paso de Newton, con el jacobiano en el papel de la derivada.