GuíaEcuaciones no linealesmedio

Métodos sin derivadas: secante y Steffensen

Cuando f′f' no está disponible se sustituye por una diferencia dividida: con dos iterados anteriores (secante, orden ≈1.618\approx1.618) o con una evaluación auxiliar (Steffensen, orden 2).

Sustituir la derivada

Si la derivada de ff no se conoce o es cara de evaluar, la receta general es reemplazarla en la fórmula de Newton por una diferencia dividida. Según qué puntos se usen aparecen dos métodos clásicos.

Método de la secante

La secante aproxima f′(xk)f'(x_k) con la pendiente entre los dos últimos iterados, f[xk,xk−1]=f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1f[x_k,x_{k-1}]=\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}: es un método con memoria que necesita dos estimaciones iniciales.

xk+1=xk−f(xk)f[xk,xk−1],k=1,2,…x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f[x_k,x_{k-1}]},\qquad k=1,2,\dots
Método de la secante.

Método de Steffensen

Steffensen evita la memoria evaluando ff en un punto auxiliar construido con la propia función: aproxima f′(xk)≈f(xk+f(xk))−f(xk)f(xk)f'(x_k)\approx\frac{f(x_k+f(x_k))-f(x_k)}{f(x_k)}. Sustituyendo en Newton:

xk+1=xk−f(xk)2f(xk+f(xk))−f(xk),k=0,1,2,…x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)^2}{f\bigl(x_k+f(x_k)\bigr)-f(x_k)},\qquad k=0,1,2,\dots
Método de Steffensen: orden 2 sin derivadas.

Conserva el orden 2 de Newton sin usar f′f', a cambio de dos evaluaciones de ff por iteración. La misma idea de reemplazar derivadas por diferencias divididas reaparece al resolver sistemas no lineales.