Ecuaciones no lineales: el problema y los métodos iterativos

El problema

Muchos problemas de ciencia e ingeniería acaban en una ecuación no lineal: encontrar una raíz simple $\alpha$ de

Hay tres vías. La analítica solo funciona en familias concretas de ecuaciones. La gráfica (representar $f$ y mirar dónde corta el eje) localiza la raíz pero no da precisión: para $f(x)=\cos^2 x-x$ se ve que la raíz está cerca de $0.65$, y nada más. La tercera vía son los métodos iterativos, que a partir de una o varias estimaciones iniciales generan una sucesión $\{x_0,x_1,x_2,\dots\}$ que converge a $\alpha$ con la precisión que se quiera.

La mayoría de métodos sin memoria se escriben como una iteración de punto fijo $x_{k+1}=\phi(x_k)$. El ejemplo central es el método de Newton-Raphson, con $\phi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$.

Clasificación de los métodos iterativos

• Sin memoria / con memoria: los primeros solo usan el iterado actual, $x_{k+1}=\phi(x_k)$; los segundos usan también iterados anteriores, $x_{k+1}=\phi(x_k,x_{k-1},\dots,x_{k-m})$, y necesitan varias estimaciones iniciales. La secante es el ejemplo clásico con memoria.
• De un punto / multipunto: los multipunto evalúan la función en puntos intermedios dentro de la misma iteración (estructura predictor-corrector), como el método de Traub o los métodos de alto orden.
• Con derivadas / libres de derivadas: cuando $f'$ no se conoce o es cara, se sustituye por diferencias divididas, como hacen la secante y Steffensen.

Criterios de parada y tolerancia

Un método iterativo necesita saber cuándo parar. Las condiciones habituales, solas o combinadas, son:

• Los dos últimos iterados están muy próximos: $|x_{k+1}-x_k|<\varepsilon$.
• El residuo es muy pequeño: $|f(x_{k+1})|<\varepsilon$.
• Se ha alcanzado un número máximo de iteraciones sin converger (protege de bucles infinitos cuando el método diverge).

El valor $\varepsilon$ es la tolerancia. Con aritmética de doble precisión no tiene sentido pedir tolerancias por debajo de la precisión de la máquina; los estudios de convergencia con tolerancias extremas (como $10^{-100}$ en el ejercicio comparativo) usan aritmética de precisión extendida.