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Interpolación de Lagrange

Las funciones base de Lagrange, la propiedad cardinal que las define, el polinomio como combinación directa de los datos, su error y un ejemplo resuelto con los datos del censo.

Funciones base cardinales

Lagrange construye el mismo polinomio único en forma directa y simétrica. Las funciones $L_i(x)$ valen 1 en su nodo y 0 en los demás:

L_{i}(x_j)=\begin{cases}1,& i=j\\[2pt] 0,& i\ne j\end{cases}\qquad\Longrightarrow\qquad L_{i}(x)=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}

En el numerador aparecen todos los factores $(x-x_j)$ salvo $(x-x_i)$ ; en el denominador, todos los $(x_i-x_j)$ salvo $(x_i-x_i)$ . Con estas funciones el polinomio es una combinación de los valores conocidos:

p_n(x)=\sum_{i=0}^{n} L_{i}(x)\,f(x_i)

Por qué el polinomio pasa por cada nodo

Para comprobarlo en un nodo concreto $x_k$ , evaluamos el polinomio ahí:
$p_n(x_k)=\sum_{i=0}^{n} L_i(x_k)\,f(x_i)$
La propiedad cardinal anula todas las bases salvo la que corresponde al propio nodo $x_k$ :
$L_i(x_k)=\begin{cases}0,& i\ne k\\[2pt]1,& i=k\end{cases}$
Así solo sobrevive el término $i=k$ , y el interpolante reproduce el dato de ese nodo:
$p_n(x_k)=L_k(x_k)\,f(x_k)=f(x_k)$

Newton frente a Lagrange

Lagrange es directo y simétrico: ideal para pocos nodos y para deducir reglas (cuadratura, diferenciación).
Newton es incremental: añadir un nodo cuesta un término, no rehacer todo.
Ambos dan el mismo polinomio y comparten la misma cota de error.

Ejemplo resuelto

EjemploCenso de población (grado 4)

Con los mismos datos del censo (1971–2011), construye el polinomio de Lagrange de grado 4 y estima la población en 2005.

Cada $L_i$ tiene los cuatro factores de los otros nodos. Por ejemplo, para $x_0=1971$ :
$\begin{aligned}L_0(x)&=\frac{(x-1981)(x-1991)(x-2001)(x-2011)}{(1971-1981)(1971-1991)(1971-2001)(1971-2011)}\\&=\frac{(x-1981)(x-1991)(x-2001)(x-2011)}{240000}\end{aligned}$
El polinomio suma cada $L_i$ por su valor $f(x_i)$ :
$p_4(x)=\sum_{i=0}^{4} L_i(x)\,f(x_i)$

El resultado coincide (salvo redondeo) con el de Newton, como debe ser por unicidad:

p_4(2005)\approx 42.316\ \text{millones}

Deducción de la base de Lagrange

DeducciónDeducción: funciones base de LagrangeVer como página propia →

Queremos $L_i(x)$ que valga 0 en todos los nodos salvo $x_i$ . Para anularse en $x_j$ ( $j\ne i$ ) basta con incluir el factor $(x-x_j)$ por cada uno:
$\text{numerador}=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}(x-x_j)$
Ese producto vale algo (no 1) en $x_i$ . Para normalizarlo a 1 dividimos por su valor en $x_i$ , que es el mismo producto evaluado ahí:
$L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$
Así $L_i(x_i)=1$ y $L_i(x_j)=0$ . La combinación $\sum_i L_i(x)\,f(x_i)$ reproduce cada dato, luego interpola.