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Alto orden en sistemas: Traub, Golden Ratio, NA, Jarratt y RN

Composición con Newton y jacobiano congelado: cómo ganar un orden por composición sin evaluar jacobianos nuevos, y las familias Traub, Golden Ratio, NA, Jarratt vectorial y RN (orden 5-6).

Composición con jacobiano congelado

Componer un método de orden pp, z(k)=Φ(x(k),y(k))z^{(k)}=\Phi(x^{(k)},y^{(k)}), con un paso completo de Newton da orden 2p2p, pero exige evaluar (y factorizar) un jacobiano nuevo en z(k)z^{(k)}. La alternativa barata es reutilizar el jacobiano ya factorizado:

z(k)=Φ(x(k),y(k)),x(k+1)=z(k)−[F′(x(k))]−1F(z(k))z^{(k)}=\Phi(x^{(k)},y^{(k)}),\qquad x^{(k+1)}=z^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(z^{(k)})

El ejemplo más simple es el método de Traub vectorial, Newton (orden 2) seguido de un paso con jacobiano congelado, de orden 2+1=32+1=3:

z(k)=x(k)−[F′(x(k))]−1F(x(k))x(k+1)=z(k)−[F′(x(k))]−1F(z(k))\begin{aligned} z^{(k)}&=x^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)})\\ x^{(k+1)}&=z^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(z^{(k)}) \end{aligned}
Método de Traub para sistemas, orden 3.

Golden Ratio y el método NA

Generalizando la idea con pasos ponderados ηj(x(k))=x(k)−aj[F′(x(k))]−1F(x(k))\eta_j(x^{(k)})=x^{(k)}-a_j[F'(x^{(k)})]^{-1}F(x^{(k)}) se obtiene la familia x(k+1)=x(k)−[F′(x(k))]−1(∑jbjF(ηj(x(k))))x^{(k+1)}=x^{(k)}-[F'(x^{(k)})]^{-1}\bigl(\sum_j b_jF(\eta_j(x^{(k)}))\bigr). El miembro de dos pasos es el método Golden Ratio, de orden 3, llamado así porque sus parámetros involucran a 5\sqrt5: a=−1±52a=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}, b=3±52b=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.

y(k)=x(k)−a[F′(x(k))]−1F(x(k))x(k+1)=x(k)−b[F′(x(k))]−1F(y(k))\begin{aligned} y^{(k)}&=x^{(k)}-a\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)})\\ x^{(k+1)}&=x^{(k)}-b\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(y^{(k)}) \end{aligned}
Método Golden Ratio, orden 3.

Componiendo Golden Ratio con un paso de jacobiano congelado se obtiene el método NA, de orden 4 con una única evaluación de jacobiano por iteración. Sus índices de eficiencia baten a los de Newton y Golden Ratio para todo n>1n>1: INA=41/(n2+3n)>IGR=31/(n2+2n)>IN=21/(n2+n)I_{NA}=4^{1/(n^2+3n)}>I_{GR}=3^{1/(n^2+2n)}>I_N=2^{1/(n^2+n)}.

y(k)=x(k)−a[F′(x(k))]−1F(x(k))z(k)=x(k)−b[F′(x(k))]−1F(y(k))x(k+1)=z(k)−[F′(x(k))]−1F(z(k))\begin{aligned} y^{(k)}&=x^{(k)}-a\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)})\\ z^{(k)}&=x^{(k)}-b\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(y^{(k)})\\ x^{(k+1)}&=z^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(z^{(k)}) \end{aligned}
Método NA, orden 4 con un solo jacobiano.

Jarratt vectorial y el método RN

El método de Jarratt también se extiende a sistemas, manteniendo su orden 4:

y(k)=x(k)−23[F′(x(k))]−1F(x(k))x(k+1)=x(k)−12[3F′(y(k))−F′(x(k))]−1(3F′(y(k))+F′(x(k)))[F′(x(k))]−1F(x(k))\begin{aligned} y^{(k)}&=x^{(k)}-\tfrac{2}{3}\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)})\\ x^{(k+1)}&=x^{(k)}-\tfrac{1}{2}\bigl[3F'(y^{(k)})-F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}\bigl(3F'(y^{(k)})+F'(x^{(k)})\bigr)\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)}) \end{aligned}
Método de Jarratt para sistemas, orden 4.

A cambio, evalúa dos jacobianos y resuelve sistemas lineales con dos matrices de coeficientes distintas: IJ=41/(2n2+n)I_J=4^{1/(2n^2+n)}. Componiéndolo con una variante de Newton se obtiene el método RN, con un tercer paso x(k+1)=z(k)−[aF′(x(k))+bF′(y(k))]−1F(z(k))x^{(k+1)}=z^{(k)}-\bigl[aF'(x^{(k)})+bF'(y^{(k)})\bigr]^{-1}F(z^{(k)}).