Problemas de valor inicial | Métodos Numéricos

Qué es un problema de valor inicial

Las ecuaciones diferenciales modelan sistemas dinámicos: la trayectoria de una partícula, la evolución de una temperatura, un circuito eléctrico o el crecimiento de una población. Un problema de valor inicial (PVI) combina la ecuación diferencial con el estado del sistema en el instante inicial:

y'(t)=f(t,y(t)),\qquad t\in[a,b],\qquad y(a)=y_a

Un ejemplo clásico es el modelo de Malthus para poblaciones, $y'(t)=k\,y(t)$ : la velocidad de crecimiento es proporcional al número de individuos (con $k<0$ describe desintegración o decaimiento). El modelo logístico o de Verhulst añade un término no lineal que frena el crecimiento cuando los recursos son limitados: $y'(t)=k\,y(t)-p\,y(t)^2$ . Este último aparece como ejemplo recurrente en los métodos de esta sección.

Existencia y unicidad de solución

Antes de aproximar una solución conviene saber que existe y que es única. La condición controla cuánto cambia $f$ respecto de $y$ :

De la solución continua a la solución discreta

Las técnicas analíticas obtienen la solución continua $y(t)$ , pero solo funcionan en familias concretas de ecuaciones. Los métodos numéricos aproximan la solución cuando el cálculo analítico no es posible o es demasiado costoso: producen una solución discreta $y_k\approx y(t_k)$ sobre los nodos de una partición del intervalo.

t_k=a+kh,\qquad k=0,1,\dots,N,\qquad h=\frac{b-a}{N}

Discretización equiespaciada de

[a,b]

en

N

subintervalos de paso

h

.

Todos los métodos de esta área (Euler, Heun, Runge-Kutta y los multipaso de Adams) siguen este esquema: parten de $y_0=y_a$ y avanzan nodo a nodo construyendo $y_{k+1}$ a partir de la información disponible.

Sistemas de ecuaciones de primer orden

Cuando varias magnitudes evolucionan acopladas (por ejemplo, poblaciones que interactúan), el PVI se formula con $m$ funciones incógnita $y_1,\dots,y_m$ y una ecuación por cada una. Con notación vectorial $Y(t)=[y_1(t),\dots,y_m(t)]^T$ el sistema refleja el caso escalar:

Y'(t)=F\bigl(t,Y(t)\bigr),\qquad Y(a)=\bigl[y_{1,a},\dots,y_{m,a}\bigr]^T

Esta notación no es solo estética: los métodos de un paso se aplican al sistema componente a componente sin ningún cambio conceptual, como muestra el ejercicio del modelo epidémico SIR.

Ecuaciones de orden superior

Una ecuación de orden $m$ , $y^{(m)}(t)=f\bigl(t,y,y',\dots,y^{(m-1)}\bigr)$ , define un PVI si se conocen $y$ y sus derivadas hasta orden $m-1$ en el instante inicial. Para resolverla numéricamente se convierte en un sistema de primer orden:

Reducción a sistema de primer orden

Se introducen variables nuevas: la función y sus derivadas sucesivas.
$y_1(t)=y(t),\quad y_2(t)=y'(t),\quad \dots,\quad y_m(t)=y^{(m-1)}(t)$
Derivando cada variable nueva aparece la siguiente, y la última recoge la ecuación original.
$y_1'=y_2,\quad y_2'=y_3,\quad \dots,\quad y_m'=f\bigl(t,y_1,\dots,y_m\bigr)$
Las condiciones iniciales de la ecuación se traducen directamente en las del sistema: $y_1(a)=y(a)$ , $y_2(a)=y'(a)$ , etcétera. La solución buscada es la primera componente, $y(t)=y_1(t)$ .

EjemploEl péndulo como sistema

Escribir como sistema de primer orden la ecuación de un péndulo de longitud $L$ , $\theta''(t)-\frac{g}{L}\sin\theta(t)=0$ , con ángulo inicial $\theta(0)=\pi/6$ y velocidad angular inicial $\theta'(0)=0$ .

Con $y_1=\theta$ e $y_2=\theta'$ , la ecuación de segundo orden se convierte en dos ecuaciones de primer orden:
$\begin{bmatrix} y_1' \\ y_2' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_2 \\ \tfrac{g}{L}\sin y_1 \end{bmatrix}$

Las condiciones iniciales del sistema son $y_1(0)=\pi/6$ , $y_2(0)=0$ , y cualquier método de un paso puede integrarlo en forma vectorial.