GuíaDiferenciaciónmedio

Diferencias finitas: la primera derivada

Fórmulas progresiva, regresiva y central para la primera derivada, sus versiones de tres y cinco puntos, el orden del error y una comparación numérica que sorprende.

Las tres fórmulas básicas

Con nodos equiespaciados de paso h, la primera derivada se aproxima mirando hacia delante (progresiva), hacia atrás (regresiva) o a ambos lados (central). La central es más precisa porque cancela el término par del desarrollo de Taylor.

f'(x_i)\approx\frac{f_{i+1}-f_i}{h}+\mathcal{O}(h)

Progresiva, orden 1.

f'(x_i)\approx\frac{f_i-f_{i-1}}{h}+\mathcal{O}(h)

Regresiva, orden 1.

f'(x_i)\approx\frac{f_{i+1}-f_{i-1}}{2h}+\mathcal{O}(h^2)

Central, orden 2.

Fórmulas de mayor orden

Usando más nodos se sube el orden. Las de tres puntos alcanzan $\mathcal{O}(h^2)$ con información solo a un lado; la central de cinco puntos llega a $\mathcal{O}(h^4)$ .

f'(x_i)\approx\frac{-f_{i+2}+4f_{i+1}-3f_i}{2h}+\mathcal{O}(h^2)

Progresiva de tres puntos.

f'(x_i)\approx\frac{3f_i-4f_{i-1}+f_{i-2}}{2h}+\mathcal{O}(h^2)

Regresiva de tres puntos.

f'(x_i)\approx\frac{-f_{i+2}+8f_{i+1}-8f_{i-1}+f_{i-2}}{12h}+\mathcal{O}(h^4)

Central de cinco puntos.

Deducción de la progresiva de tres puntos

DeducciónDeducción: progresiva de tres puntos O(h²)Ver como página propia →

Desarrollamos Taylor en $x_{i+1}$ y $x_{i+2}$ alrededor de $x_i$ :
$\begin{aligned} f(x_{i+1})&=f(x_i)+hf'(x_i)+\tfrac{h^2}{2}f''(x_i)+R_2\\ f(x_{i+2})&=f(x_i)+2hf'(x_i)+2h^2 f''(x_i)+R_2 \end{aligned}$
Hacemos $(\text{segunda})-2\cdot(\text{primera})$ para cancelar $f'$ ; despejando $f''$ obtenemos una fórmula $\mathcal{O}(h)$ de la segunda derivada:
$f''(x_i)=\frac{f_{i+2}-2f_{i+1}+f_i}{h^2}+\mathcal{O}(h)$
Sustituyendo esta $f''$ en el primer desarrollo y despejando $f'$ se cancela el término de orden $h$ y queda:
$f'(x_i)=\frac{-f_{i+2}+4f_{i+1}-3f_i}{2h}+\mathcal{O}(h^2)$