Ejercicio: integral doble de una superficie

Sea $f(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2}$ y $R=[0,1]\times[0,1]$. Calcula la integral de $\sqrt{f_x^2+f_y^2}$ con Simpson $n=m=8$ y Gauss-Legendre $n=4$.

1. Las derivadas parciales son:

   $$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{9-x^2-y^2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{9-x^2-y^2}}$$

2. Por tanto, el integrando se simplifica a:

   $$\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{9-x^2-y^2}}$$

3. Con Simpson doble y n=m=8 se obtiene:

   $$I_S=0.267814255559730$$

4. Con Gauss-Legendre $n=4$, tras transformar $x=\frac{u+1}{2}$, $y=\frac{v+1}{2}$, se obtiene:

   $$I_G=0.267770529696778$$