DeducciónDiferenciaciónavanzado

Deducción: progresiva de tres puntos O(h²)

Cómo combinar dos desarrollos de Taylor para eliminar la segunda derivada y obtener una diferencia progresiva de orden 2 para la primera derivada.

Combinar dos desarrollos

  1. Desarrollamos Taylor en xi+1x_{i+1} y xi+2x_{i+2} alrededor de xix_i:

    f(xi+1)=f(xi)+hf′(xi)+h22f′′(xi)+R2f(xi+2)=f(xi)+2hf′(xi)+2h2f′′(xi)+R2\begin{aligned} f(x_{i+1})&=f(x_i)+hf'(x_i)+\tfrac{h^2}{2}f''(x_i)+R_2\\ f(x_{i+2})&=f(x_i)+2hf'(x_i)+2h^2 f''(x_i)+R_2 \end{aligned}

  2. Hacemos (segunda)−2⋅(primera)(\text{segunda})-2\cdot(\text{primera}) para cancelar f′f'; despejando f′′f'' obtenemos una fórmula O(h)\mathcal{O}(h) de la segunda derivada:

    f′′(xi)=fi+2−2fi+1+fih2+O(h)f''(x_i)=\frac{f_{i+2}-2f_{i+1}+f_i}{h^2}+\mathcal{O}(h)

  3. Sustituyendo esta f′′f'' en el primer desarrollo y despejando f′f' se cancela el término de orden hh y queda:

    f′(xi)=−fi+2+4fi+1−3fi2h+O(h2)f'(x_i)=\frac{-f_{i+2}+4f_{i+1}-3f_i}{2h}+\mathcal{O}(h^2)