Sistemas de ecuaciones no lineales

El problema

Muchos modelos de ingeniería (sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas, ecuaciones en derivadas parciales discretizadas, problemas de frontera) desembocan en un sistema de $n$ ecuaciones no lineales con $n$ incógnitas:

donde las $f_i$ son las funciones coordenadas de $F$ y $D$ es abierto y convexo. Igual que en el caso escalar, la solución $\alpha\in\mathbb{R}^n$ se aproxima con métodos iterativos de punto fijo, ahora descritos por una función vectorial $G:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$: $x^{(k+1)}=G(x^{(k)})$, $k=0,1,2,\dots$

Orden de convergencia con normas

El papel de los valores absolutos del caso escalar lo asumen las normas vectoriales. El teorema del orden del punto fijo también se generaliza: el esquema $x^{(k+1)}=G(x^{(k)})$ tiene orden $p$ si $G(\alpha)=\alpha$ y todas las derivadas parciales de las componentes $g_i$ hasta orden $p-1$ se anulan en $\alpha$, con alguna de orden $p$ no nula. La ecuación del error se escribe $e^{(k+1)}=L\,(e^{(k)})^p+\mathcal{O}\bigl((e^{(k)})^{p+1}\bigr)$, donde $e^{(k)}=x^{(k)}-\alpha$ y $L$ es una función $p$-lineal derivada del desarrollo de Taylor multivariante de $F$.

Sin conocer $\alpha$, el orden se estima con el ACOC multidimensional, idéntico al escalar pero con normas:

Criterios de parada

• Los dos últimos iterados están muy próximos: $\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|<\varepsilon$.
• El residuo es muy pequeño: $\|F(x^{(k+1)})\|<\varepsilon$.
• Se ha alcanzado el máximo de iteraciones sin converger.