GuíaIntegraciónmedio

Newton-Cotes cerradas: trapecio, Simpson y más

Reglas cerradas para nodos equiespaciados que incluyen los extremos: trapecio, Simpson 1/3, Simpson 3/8, Milne y sus errores.

Reglas simples

Las reglas cerradas interpolan usando nodos equiespaciados que incluyen a y b. Cuantos más nodos se usan, mayor puede ser el grado de exactitud, pero también aumenta la sensibilidad si la función oscila.

ReglaAproximación simpleError principal
Trapecioh/2 [f(a)+f(b)]-h^3 f''(xi)/12
Simpson 1/3h/3 [f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]-h^5 f^(4)(xi)/90
Simpson 3/83h/8 [f(a)+3f((2a+b)/3)+3f((a+2b)/3)+f(b)]-3h^5 f^(4)(xi)/80
Milne2h/45 [7f(a)+32f((3a+b)/4)+12f((a+b)/2)+32f((a+3b)/4)+7f(b)]-8h^7 f^(6)(xi)/945
En cada fila, h es el paso entre nodos de esa regla simple.

Trapecio compuesto

Para reducir el error se divide [a,b] en n subintervalos y se aplica el trapecio en cada uno. Los nodos interiores aparecen dos veces, por eso tienen peso 2.

anchura hx₀x₁x₂x₃xₙnodos interiores: peso 2
El trapecio compuesto suma trapecios simples. Cada nodo interior es extremo derecho de un subintervalo y extremo izquierdo del siguiente.
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El trapecio compuesto suma trapecios simples. Cada nodo interior es extremo derecho de un subintervalo y extremo izquierdo del siguiente.

Deducción para n subintervalos

  1. Dividimos el intervalo con xi=a+ihx_i=a+ih y h=(b−a)/nh=(b-a)/n.

    a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_0<x_1<\cdots<x_n=b

  2. En cada subintervalo [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] aplicamos el trapecio simple:

    Ti=h2[f(xi)+f(xi+1)]T_i=\frac{h}{2}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]

  3. Sumamos todos los trapecios. Al expandir la suma, los nodos interiores aparecen dos veces:

    Tn=∑i=0n−1h2[f(xi)+f(xi+1)]=h2[f(x0)+2∑i=1n−1f(xi)+f(xn)]\begin{aligned}T_n&=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{h}{2}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]\\&=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]\end{aligned}

  4. El error global sale de sumar los errores locales −h3f′′(ξi)/12-h^3 f''(\xi_i)/12 y aplicar el teorema del valor medio:

    ET=−h312∑i=0n−1f′′(ξi)=−b−a12h2f′′(ξ)E_T=-\frac{h^3}{12}\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i)=-\frac{b-a}{12}h^2 f''(\xi)
I≈h2[f(x0)+2∑i=1n−1f(xi)+f(xn)],h=b−anI\approx\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right],\qquad h=\frac{b-a}{n}
ET=−b−a12h2f′′(ξ)E_T=-\frac{b-a}{12}h^2 f''(\xi)
Error global del trapecio compuesto.

Simpson compuesto

Simpson 1/3 agrupa subintervalos de dos en dos, así que n debe ser par. Los pesos alternan 4 y 2: los nodos impares son puntos medios de cada parábola y los pares interiores unen bloques consecutivos.

I≈h3[f(x0)+4∑i imparf(xi)+2∑i par, 0<i<nf(xi)+f(xn)]I\approx\frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{i\ \mathrm{impar}}f(x_i)+2\sum_{i\ \mathrm{par},\ 0<i<n}f(x_i)+f(x_n)\right]
ES=−b−a180h4f(4)(ξ)E_S=-\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)
Error global de Simpson compuesto.

Deducciones

DeducciónDeducción: regla del trapecioVer como página propia →

Queremos aproximar ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx usando solo los valores de la función en los extremos. La idea consiste en sustituir la curva por la recta que pasa por (a,f(a))(a,f(a)) y (b,f(b))(b,f(b)), e integrar esa recta.

abf(a)f(b)recta interpolantefunción fárea aproximada
La curva se sustituye por la recta interpolante. El área bajo esa recta es la aproximación por trapecio.
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La curva se sustituye por la recta interpolante. El área bajo esa recta es la aproximación por trapecio.

Deducción con Lagrange

  1. Tomamos los nodos extremos x0=ax_0=a y x1=bx_1=b, con h=b−ah=b-a. Las bases lineales de Lagrange valen 1 en su nodo y 0 en el otro:

    L0(x)=x−ba−b,L1(x)=x−ab−aL_0(x)=\frac{x-b}{a-b},\qquad L_1(x)=\frac{x-a}{b-a}

  2. El interpolante lineal queda como combinación de los valores conocidos:

    p1(x)=f(a)L0(x)+f(b)L1(x)p_1(x)=f(a)L_0(x)+f(b)L_1(x)

  3. Aproximamos la integral de ff por la integral de p1p_1. Los pesos de la fórmula son las integrales de las bases:

    I≈f(a)∫abL0(x) dx+f(b)∫abL1(x) dxI\approx f(a)\int_a^b L_0(x)\,dx+f(b)\int_a^b L_1(x)\,dx

  4. Calculamos el primer peso con el cambio s=x−as=x-a. Entonces x−b=s−hx-b=s-h, a−b=−ha-b=-h, dx=dsdx=ds y los límites pasan de x=a,bx=a,b a s=0,hs=0,h:

    ∫abL0(x) dx=∫abx−ba−b dx=∫0hh−sh ds=1h[hs−s22]0h=h2\begin{aligned}\int_a^b L_0(x)\,dx&=\int_a^b\frac{x-b}{a-b}\,dx\\&=\int_0^h\frac{h-s}{h}\,ds\\&=\frac{1}{h}\left[hs-\frac{s^2}{2}\right]_0^h=\frac{h}{2}\end{aligned}

  5. Calculamos el segundo peso con el mismo cambio. Ahora x−a=sx-a=s y b−a=hb-a=h:

    ∫abL1(x) dx=∫abx−ab−a dx=∫0hsh ds=1h[s22]0h=h2\begin{aligned}\int_a^b L_1(x)\,dx&=\int_a^b\frac{x-a}{b-a}\,dx\\&=\int_0^h\frac{s}{h}\,ds=\frac{1}{h}\left[\frac{s^2}{2}\right]_0^h=\frac{h}{2}\end{aligned}

  6. Los dos pesos son h/2h/2. Al sustituirlos en la fórmula de cuadratura aparece la regla del trapecio simple:

    ∫abf(x) dx≈h2[f(a)+f(b)]\int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)\right]
ab1L₀(x)área h/2ab1L₁(x)área h/2
Cada base de Lagrange tiene área h/2h/2 en [a,b][a,b]. Por eso los dos extremos reciben el mismo peso.
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Cada base de Lagrange tiene área h/2h/2 en [a,b][a,b]. Por eso los dos extremos reciben el mismo peso.

Lectura geométrica

  1. La integral de p1p_1 es el área bajo una recta. Esa región es un trapecio de base h=b−ah=b-a y alturas paralelas f(a)f(a) y f(b)f(b).

    Atrapecio=base2(altura1+altura2)A_{\text{trapecio}}=\frac{\text{base}}{2}\left(\text{altura}_1+\text{altura}_2\right)

  2. Al identificar base y alturas se obtiene la misma expresión que por Lagrange:

    Atrapecio=b−a2[f(a)+f(b)]A_{\text{trapecio}}=\frac{b-a}{2}\left[f(a)+f(b)\right]
abbase h=b-af(a)f(b)A = h(f(a)+f(b))/2
La fórmula coincide con el área de un trapecio: base por la media de las dos alturas.
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La fórmula coincide con el área de un trapecio: base por la media de las dos alturas.

Término de error

  1. Si f∈C2[a,b]f\in\mathcal{C}^2[a,b], el error de interpolación lineal en cada punto tiene esta forma:

    f(x)−p1(x)=f′′(ξx)2(x−a)(x−b)f(x)-p_1(x)=\frac{f''(\xi_x)}{2}(x-a)(x-b)

  2. Integramos el producto que acompaña a f′′f''. Con s=x−as=x-a queda (x−a)(x−b)=s(s−h)(x-a)(x-b)=s(s-h):

    ∫ab(x−a)(x−b) dx=∫0hs(s−h) ds=−h36\int_a^b(x-a)(x-b)\,dx=\int_0^h s(s-h)\,ds=-\frac{h^3}{6}

  3. Por el teorema del valor medio para integrales, existe ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) tal que:

    ∫abf(x) dx−h2[f(a)+f(b)]=−h312f′′(ξ)\int_a^b f(x)\,dx-\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)\right]=-\frac{h^3}{12}f''(\xi)

  4. La regla es de orden 2 local: el error depende de la curvatura de ff y crece como (b−a)3(b-a)^3 en un solo intervalo.

DeducciónDeducción: trapecio compuestoVer como página propia →
anchura hx₀x₁x₂x₃xₙnodos interiores: peso 2
Cada subintervalo aporta un trapecio. Los nodos interiores cuentan dos veces.
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Cada subintervalo aporta un trapecio. Los nodos interiores cuentan dos veces.

Fórmula para n subintervalos

  1. Partimos [a,b][a,b] en n subintervalos iguales:

    xi=a+ih,h=b−an,i=0,…,nx_i=a+ih,\qquad h=\frac{b-a}{n},\qquad i=0,\ldots,n

  2. En [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] aplicamos el trapecio simple:

    Ti=h2[f(xi)+f(xi+1)]T_i=\frac{h}{2}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]

  3. La aproximación total es la suma de los n trapecios:

    Tn=∑i=0n−1Ti=h2∑i=0n−1[f(xi)+f(xi+1)]\begin{aligned}T_n&=\sum_{i=0}^{n-1}T_i\\&=\frac{h}{2}\sum_{i=0}^{n-1}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]\end{aligned}

  4. Al escribir la suma completa, f(x0)f(x_0) y f(xn)f(x_n) aparecen una vez. Cada valor interior aparece dos veces:

    Tn=h2[f(x0)+2∑i=1n−1f(xi)+f(xn)]T_n=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]

  5. El error global se obtiene sumando los errores locales del trapecio simple:

    ET=−h312∑i=0n−1f′′(ξi)=−b−a12h2f′′(ξ)\begin{aligned}E_T&=-\frac{h^3}{12}\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i)\\&=-\frac{b-a}{12}h^2f''(\xi)\end{aligned}
DeducciónDeducción: Simpson 1/3Ver como página propia →

  1. Tomamos x0=ax_0=a, x1=a+b2x_1=\frac{a+b}{2} y x2=bx_2=b. Escribimos h=b−a2h=\frac{b-a}{2} y usamos t=x−aht=\frac{x-a}{h}, de modo que tt recorre [0,2][0,2].

    dx=h dtdx=h\,dt

  2. Las bases cuadráticas en la variable t son:

    ℓ0(t)=(t−1)(t−2)2,ℓ1(t)=−t(t−2),ℓ2(t)=t(t−1)2\ell_0(t)=\frac{(t-1)(t-2)}{2},\quad \ell_1(t)=-t(t-2),\quad \ell_2(t)=\frac{t(t-1)}{2}

  3. Integramos cada base en [0,2] y multiplicamos por h:

    h∫02ℓ0(t)dt=h3,h∫02ℓ1(t)dt=4h3,h∫02ℓ2(t)dt=h3h\int_0^2\ell_0(t)dt=\frac{h}{3},\quad h\int_0^2\ell_1(t)dt=\frac{4h}{3},\quad h\int_0^2\ell_2(t)dt=\frac{h}{3}

  4. Al juntar los términos aparece Simpson 1/3:

    ∫abf(x) dx≈h3[f(a)+4f ⁣(a+b2)+f(b)]\int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{h}{3}\left[f(a)+4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]