DeducciónIntegraciónmedio

Deducción: punto medio simple

Sustituir la función por una altura central y obtener la regla del rectángulo centrado con su error.

Rectángulo centrado

abmf(m)(b-a) f(m)función fpunto medio
La base es b−ab-a y la altura se toma en m=(a+b)/2m=(a+b)/2.
Ampliar diagrama

La base es b−ab-a y la altura se toma en m=(a+b)/2m=(a+b)/2.

Regla y error

  1. Definimos el centro del intervalo:

    m=a+b2m=\frac{a+b}{2}

  2. Aproximamos la función por la constante f(m)f(m):

    ∫abf(x) dx≈∫abf(m) dx\int_a^b f(x)\,dx\approx\int_a^b f(m)\,dx

  3. Como f(m)f(m) es constante respecto de xx, la integral es base por altura:

    M1=(b−a)f(m)=(b−a)f ⁣(a+b2)M_1=(b-a)f(m)=(b-a)f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)

  4. El término lineal de Taylor alrededor de mm no aporta área neta por simetría. El primer término que queda depende de f′′f'':

    ∫abf(x) dx−M1=(b−a)324f′′(ξ)\int_a^b f(x)\,dx-M_1=\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)