Ejercicio: bisección a mano

Aproximar la raíz de $f(x)=\cos^2 x-x$ en $[0,1]$ con seis iteraciones de bisección.

1. Comprobación inicial: $f(0)=1>0$ y $f(1)=\cos^2 1-1=-0.708<0$, así que el teorema de Bolzano garantiza una raíz en $(0,1)$.

2. $m_1=0.5$: $f(0.5)=0.270>0$, mismo signo que en $0$ → raíz en $[0.5,\,1]$.

3. $m_2=0.75$: $f(0.75)=-0.215<0$ → raíz en $[0.5,\,0.75]$.

4. $m_3=0.625$: $f(0.625)=0.033>0$ → raíz en $[0.625,\,0.75]$.

5. $m_4=0.6875$: $f=-0.090<0$ → $[0.625,\,0.6875]$. $m_5=0.65625$: $f=-0.029<0$ → $[0.625,\,0.65625]$. $m_6=0.640625$: $f=0.002>0$ → $[0.640625,\,0.65625]$.

6. La cota de error tras 6 iteraciones es $\frac{b-a}{2^{7}}=\frac{1}{128}=0.0078$; de hecho $m_6=0.640625$ dista de $\alpha=0.641714$ apenas $0.0011$.