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Comparativas de métodos numéricos

Estas tablas no sustituyen a las guías: son una vista rápida para elegir método según hipótesis, coste y comportamiento esperado.

Newton vs secante vs bisección

Tres estrategias para raíces escalares: seguridad global, velocidad local y coste por iteración.

Método	Hipótesis	Orden	Coste	Cuándo usarlo
Bisección	Continuidad y cambio de signo en $[a,b]$	Lineal; el intervalo se divide por 2	Una evaluación nueva de $f$ por iteración	Para encerrar la raíz y obtener una estimación inicial fiable
Newton-Raphson	Raíz simple, $f'$ disponible y punto inicial cercano	Cuadrático local	$f$ y $f'$ por iteración	Cuando hay buena semilla y derivada barata
Secante	Dos estimaciones iniciales y $f$ suficientemente regular	Superlineal, $p\approx1.618$	Una evaluación nueva de $f$ por iteración	Cuando no se quiere o no se puede evaluar $f'$

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Euler vs Heun vs RK4

Métodos de un paso para PVI: precisión, evaluaciones de $f$ y uso práctico.

Método	Idea	Error global	Evaluaciones	Cuándo usarlo
Euler explícito	Avanza con la pendiente al inicio del intervalo	$\mathcal{O}(h)$	1 por paso	Para estimaciones rápidas o como predictor
Heun	Promedia la pendiente de Euler y la pendiente corregida	$\mathcal{O}(h^2)$	2 por paso	Cuando se quiere una mejora barata sobre Euler
RK4	Combina cuatro pendientes con pesos $1,2,2,1$	$\mathcal{O}(h^4)$	4 por paso	Para alta precisión sin resolver ecuaciones implícitas

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Jacobi vs Gauss-Seidel vs SOR

Métodos iterativos lineales vistos como particiones $A=M-N$ y su matriz de iteración.

Método	Partición	Actualización	Ventaja	Riesgo
Jacobi	$M=D$	Usa solo valores de la iteración anterior	Simple y paralelizable	Puede converger lentamente
Gauss-Seidel	$M=D-L$	Reutiliza valores nuevos en cuanto se calculan	Suele mejorar a Jacobi sin parámetro extra	Depende del orden de las ecuaciones
SOR	$M=\frac{1}{\omega}D-L$	Relaja Gauss-Seidel con un peso $\omega$	Puede acelerar mucho con $\omega$ adecuado	Un $\omega$ malo puede empeorar o romper la convergencia

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Lagrange vs Newton vs Hermite vs splines

Cuatro maneras de interpolar los mismos datos: qué información usan, qué cuesta construirlas y cuándo conviene cada una.

Interpolante	Datos que usa	Construcción	Fortaleza	Limitación
Lagrange	Valores $f(x_i)$ en $n+1$ nodos	Base explícita $\ell_i(x)$ , sin sistemas que resolver	Forma cerrada ideal para teoría y deducciones de cuadratura	Añadir un nodo obliga a rehacer toda la base
Newton	Valores $f(x_i)$ en $n+1$ nodos	Tabla de diferencias divididas, forma anidada	Añadir un nodo solo cuesta una diagonal más	Mismo polinomio que Lagrange: hereda sus límites de grado alto
Hermite	Valores $f(x_i)$ y derivadas $f'(x_i)$	Diferencias divididas con nodos repetidos	Dobla la información por nodo: grado $2n+1$ y más precisión	Exige conocer las derivadas, que no siempre existen en los datos
Spline cúbico	Valores $f(x_i)$ en todos los nodos	Sistema tridiagonal para los momentos, polinomio cúbico por tramo	Suave ( $C^2$ ) y sin fenómeno de Runge con muchos nodos	No da un único polinomio global y requiere resolver un sistema

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Trapecio vs Simpson vs punto medio vs Gauss

Las cuadraturas de uso diario comparadas por nodos, orden del error compuesto y situación en la que ganan.

Fórmula	Nodos	Error compuesto	Grado de precisión	Cuándo usarla
Trapecio compuesto	Equiespaciados, cerrada (usa los extremos)	$\mathcal{O}(h^2)$	1	Datos tabulados; sencilla y robusta
Simpson compuesto	Equiespaciados, cerrada, número par de subintervalos	$\mathcal{O}(h^4)$	3	Integrando suave tabulado: dos órdenes más al mismo coste por nodo
Punto medio compuesto	Equiespaciados, abierta (evita los extremos)	$\mathcal{O}(h^2)$	1	Cuando el integrando no se puede evaluar en los extremos
Gauss-Legendre	Raíces de polinomios de Legendre, no equiespaciados	Grado $2n-1$ con $n$ nodos	$2n-1$	Cuando puedes evaluar $f$ donde quieras y las evaluaciones son caras

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AB2 vs AM2 vs predictor-corrector

Los multipaso de orden 2 frente a frente: coste por paso, constante de error y qué se paga por la estabilidad implícita.

Método	Tipo	Error local	Coste por paso	Observaciones
AB2	Explícito, dos pasos	$\frac{5}{12}h^3y'''(\xi)$	1 evaluación nueva de $f$	Necesita un valor de arranque (Heun o RK4) y malla uniforme
AM2 (trapecio implícito)	Implícito, un paso nuevo	$-\frac{1}{12}h^3y'''(\xi)$	Resolver una ecuación en $y_{k+1}$	Constante 5 veces menor que AB2 y mucha más estabilidad
Predictor-corrector AB2+AM2	Explícito en la práctica	Del orden del corrector	2 evaluaciones de $f$	Precisión de AM2 sin resolver la ecuación implícita; la diferencia predictor-corrector estima el error

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