DeducciónEDOavanzado

Deducción: Runge-Kutta de orden 4

Aplicar la regla de Simpson a la forma integral del PVI y aproximar las pendientes desconocidas con evaluaciones internas encadenadas produce el RK4 clásico y explica sus pesos 1, 2, 2, 1.

Simpson sobre la forma integral

Las cuatro etapas de RK4 reemplazan las pendientes exactas de Simpson por evaluaciones internas encadenadas.

Integramos primero la ecuación diferencial en el subintervalo $[t_k,t_{k+1}]$ :
$\int_{t_k}^{t_{k+1}} y'(\tau)\,d\tau=\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau$
Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo al lado izquierdo queda la forma integral exacta del PVI:
$y(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau$
Aproximamos la integral con la regla de Simpson, que usa los extremos y el punto medio $t_{k+\frac12}=t_k+\frac{h}{2}$ :
$\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\,d\tau\approx\frac{h}{6}\Bigl(f(t_k,y_k)+4f\bigl(t_{k+\frac12},y_{k+\frac12}\bigr)+f(t_{k+1},y_{k+1})\Bigr)$
Problema: no conocemos ni $y_{k+\frac12}$ ni $y_{k+1}$ . La solución de Runge-Kutta es estimarlos con pendientes internas encadenadas, cada una construida avanzando con la anterior:
$\begin{aligned} k_1&=f(t_k,\,y_k)\\ k_2&=f\bigl(t_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{h}{2}k_1\bigr)\\ k_3&=f\bigl(t_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{h}{2}k_2\bigr)\\ k_4&=f(t_k+h,\,y_k+h\,k_3) \end{aligned}$
La pendiente central de Simpson se aproxima promediando las dos estimaciones del punto medio, y la final con $k_4$ :
$f\bigl(t_{k+\frac12},y_{k+\frac12}\bigr)\approx\frac{k_2+k_3}{2},\qquad f(t_{k+1},y_{k+1})\approx k_4$
Sustituyendo en Simpson, el peso $4$ del punto medio se reparte como $4\cdot\frac{k_2+k_3}{2}=2k_2+2k_3$ , y aparece el RK4 clásico con sus pesos $1,2,2,1$ :
$y_{k+1}=y_k+\frac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr)$
Un análisis de Taylor análogo al de Heun (pero hasta orden cuatro) confirma que estas aproximaciones internas conservan el error local $\mathcal{O}(h^5)$ , de modo que el método es de orden 4.