EjercicioEDOavanzado

Ejercicio: estimación numérica del orden (Euler, Heun, RK4)

Sobre el mismo PVI logístico se estima el orden de Euler con la solución exacta, el de Heun comparando mallas sucesivas sin solución exacta, y el de RK4, confirmando los órdenes 1, 2 y 4.

El problema de referencia

Se usa el PVI logístico (Verhulst) $y'(t)=(3-0.1\,y)\,y$ en $[0,2]$ con $y(0)=10$ , cuya solución exacta se conoce y permite medir errores reales:

y(t)=\frac{30}{1+2e^{-3t}}

Cada método se ejecuta con $N=\{2,4,8,16,32,64\}$ subintervalos y se aplica el cociente logarítmico de Convergencia, consistencia y orden a los errores máximos.

Euler, con solución exacta

N	Error máximo $E_N$	$\log_2(E_{N/2}/E_N)$
2	2.7167	n/a
4	2.7167	0.0000
8	1.0659	1.3497
16	0.4878	1.1277
32	0.2361	1.0467
64	0.1164	1.0202

Errores de Euler frente a la solución exacta.

Heun, sin solución exacta

Para ilustrar la técnica que no necesita la solución exacta, con Heun se compara cada solución discreta con la de malla doble en los nodos comunes, $\varepsilon_N=\max_k|y^{(N)}_k-y^{(2N)}_{2k}|$ :

N	$\varepsilon_N$	$\log_2(\varepsilon_{N/2}/\varepsilon_N)$
4	18.2934	n/a
8	1.9319	3.2432
16	0.3288	2.5549
32	0.0686	2.2603
64	0.0158	2.1154

Diferencias entre mallas sucesivas con Heun.

Runge-Kutta 4

N	Error máximo $E_N$	$\log_2(E_{N/2}/E_N)$
2	4.7316	n/a
4	0.1442	5.0362
8	6.531·10⁻³	4.4646
16	3.469·10⁻⁴	4.2347
32	1.992·10⁻⁵	4.1223
64	1.192·10⁻⁶	4.0624

Errores de RK4 frente a la solución exacta.