EjercicioEDOmedio

Ejercicio: Euler y RK4 a mano en una EDO de primer orden

Despejar y'=f(t,y) en una EDO dada en forma implícita y aproximar y(3) con dos pasos de Euler y con un paso de RK4, comparando ambos resultados.

Planteamiento

Se considera la EDO $y+(t^2y-t)\,y'=0$ con $y(1)=2$ , y se quiere aproximar $y(3)$ . La ecuación no está en forma normal, así que primero se despeja $y'$ :

y'=f(t,y)=\frac{-y}{t^2y-t}

Dos pasos de Euler

EjemploEuler con h=1

Aplicar dos pasos del método de Euler explícito con $h=1$ desde $t_0=1$ , $y_0=2$ .

Primer paso: en $(1,2)$ el denominador vale $1^2\cdot 2-1=1$ , así que $f(1,2)=-2/1=-2$ .
$y_1=y_0+h\,f(1,2)=2+1\cdot(-2)=0$
Segundo paso: en $(2,0)$ el numerador es $-0=0$ , luego $f(2,0)=0$ y la solución no cambia.
$y_2=y_1+h\,f(2,0)=0+0=0$

Euler con $h=1$ da $y(3)\approx 0$ . El paso es demasiado grande: el primer salto lleva la solución a $y=0$ , un punto donde $f$ se anula y del que el método ya no sale.

Un paso de Runge-Kutta

EjemploRK4 con h=2

Aplicar un paso del método de Runge-Kutta clásico con $h=2$ desde $t_0=1$ , $y_0=2$ .

Pendiente inicial: $k_1=f(1,2)=-2$ .
Punto medio ( $t=2$ ) avanzando con $k_1$ : $y=2+1\cdot(-2)=0$ , luego $k_2=f(2,0)=0$ .
Punto medio de nuevo, ahora con $k_2$ : $y=2+1\cdot 0=2$ , luego $k_3=f(2,2)=\frac{-2}{4\cdot 2-2}=-\frac{1}{3}$ .
Extremo final ( $t=3$ ) con $k_3$ : $y=2+2\cdot(-\tfrac13)=\tfrac43$ , luego $k_4=f\bigl(3,\tfrac43\bigr)=\frac{-4/3}{9\cdot\frac43-3}=-\frac{4}{27}$ .
Combinación con pesos $1,2,2,1$ :
$y_1=2+\frac{2}{6}\Bigl(-2+2\cdot 0+2\cdot\bigl(-\tfrac13\bigr)-\tfrac{4}{27}\Bigr)=2-\frac{76}{81}=\frac{86}{81}$

RK4 da $y(3)\approx\frac{86}{81}=1.0617$ . Con el mismo número de evaluaciones que cuatro pasos de Euler, evita el colapso en $y=0$ y produce una aproximación razonable.