EjercicioSistemas linealesavanzado

Ejercicio: convergencia por radio espectral

Una matriz no diagonal dominante donde Jacobi diverge pero Gauss-Seidel converge, decidido calculando el radio espectral de cada matriz de iteración.

Decidir con ρ(H)

Ejemplo

Para $A=\bigl(\begin{smallmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ (invertible pero no diagonal dominante), decide qué método converge calculando el radio espectral de sus matrices de iteración.

Radios espectrales de las matrices de iteración:
$\rho(H_J)=1.1241>1,\qquad \rho(H_{GS})=0.6083<1$

Por el teorema, Jacobi diverge y Gauss-Seidel converge; de hecho Gauss-Seidel alcanza la tolerancia en 13 iteraciones mientras Jacobi no converge en 300:

x^{(13)}\approx[0.6256,\ -0.5006,\ 0.1252]^{t}