DeducciónDiferenciaciónavanzado

Deducción: Richardson sube el orden

De la forma del error a la fórmula de extrapolación: por qué combinar $N_1(h)$ y $N_1(h/2)$ elimina el término $\mathcal{O}(h)$ .

Eliminar el término O(h)

Partimos del error con todas las potencias y evaluamos también con paso $h/2$ :
$\begin{aligned} M&=N_1(h)+k_1 h+k_2 h^2+\cdots\\ M&=N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)+k_1\tfrac{h}{2}+k_2\tfrac{h^2}{4}+\cdots \end{aligned}$
Hacemos $2\cdot(\text{segunda})-(\text{primera})$ . El término $k_1h$ se cancela y queda un error $\mathcal{O}(h^2)$ :
$M=N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)+\left[N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-N_1(h)\right]-k_2\tfrac{h^2}{2}-\cdots$
Llamamos $N_2(h)$ a la parte conocida: es una aproximación de orden 2. Repetir con los pesos $\tfrac13$ , $\tfrac{1}{15}$ , … sube más el orden.
$N_2(h)=N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)+\left[N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-N_1(h)\right]$