GuíaIntegraciónmedio

Newton-Cotes abiertas y punto medio

Reglas abiertas que evitan los extremos del intervalo, con especial atención al punto medio simple y compuesto.

Por qué son abiertas

Las fórmulas abiertas usan solo nodos interiores. Son útiles cuando los extremos no están definidos, son singulares o no se han medido.

Regla abiertaAproximación simpleError principal
Punto medio(b-a) f((a+b)/2)(b-a)^3 f''(xi)/24
Dos nodos interiores(b-a)/2 [f((2a+b)/3)+f((a+2b)/3)]3h^3 f''(xi)/4, h=(b-a)/3
Tres nodos interiores(b-a)/3 [2f((3a+b)/4)-f((a+b)/2)+2f((a+3b)/4)]14h^5 f^(4)(xi)/45, h=(b-a)/4

Punto medio simple

El punto medio simple sustituye la curva por un rectángulo cuya altura se mide en el centro del intervalo. Usa un solo valor de la función, no los extremos.

abmf(m)(b-a) f(m)función fpunto medio
La aproximación es el área del rectángulo de base b−ab-a y altura f(m)f(m), con m=(a+b)/2m=(a+b)/2.
Ampliar diagrama

La aproximación es el área del rectángulo de base b−ab-a y altura f(m)f(m), con m=(a+b)/2m=(a+b)/2.

Deducción directa

  1. Definimos el punto medio del intervalo:

    m=a+b2m=\frac{a+b}{2}

  2. Aproximamos f(x)f(x) por la constante f(m)f(m) en todo [a,b][a,b]:

    ∫abf(x) dx≈∫abf(m) dx\int_a^b f(x)\,dx\approx\int_a^b f(m)\,dx

  3. Como f(m)f(m) no depende de xx, sale fuera de la integral y queda el área del rectángulo:

    M1=(b−a)f ⁣(a+b2)M_1=(b-a)f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)

  4. Si f∈C2[a,b]f\in\mathcal{C}^2[a,b], el error exacto tiene signo positivo en la convención E=I−M1E=I-M_1:

    EM=∫abf(x) dx−M1=(b−a)324f′′(ξ)E_M=\int_a^b f(x)\,dx-M_1=\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)

Punto medio compuesto

Para usar punto medio en n subintervalos, se parte [a,b] con paso h=(b−a)/nh=(b-a)/n y se evalúa la función en el centro de cada subintervalo. Esta notación no obliga a que n sea par.

anchura hx₀x₁x₂x₃xₙm₀m₁m₂mᵢalturas f(m_i)
El punto medio compuesto suma rectángulos de anchura hh. Cada altura es f(mi)f(m_i), con mim_i en el centro de su subintervalo.
Ampliar diagrama

El punto medio compuesto suma rectángulos de anchura hh. Cada altura es f(mi)f(m_i), con mim_i en el centro de su subintervalo.

Deducción para n subintervalos

  1. Tomamos los nodos de la partición y el centro de cada subintervalo:

    xi=a+ih,mi=xi+xi+12=a+(i+12)hx_i=a+ih,\qquad m_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}=a+\left(i+\frac12\right)h

  2. En el subintervalo [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] usamos punto medio simple:

    Mi=hf(mi)M_i=h f(m_i)

  3. La regla compuesta es la suma de todos los rectángulos:

    Mn=h∑i=0n−1f(mi)=h∑i=0n−1f ⁣(a+(i+12)h)M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f(m_i)=h\sum_{i=0}^{n-1}f\!\left(a+\left(i+\frac12\right)h\right)

  4. Sumando los errores locales h3f′′(ξi)/24h^3 f''(\xi_i)/24 se obtiene el error global:

    EM=h324∑i=0n−1f′′(ξi)=b−a24h2f′′(ξ)E_M=\frac{h^3}{24}\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i)=\frac{b-a}{24}h^2f''(\xi)

Deducciones

DeducciónDeducción: punto medio simpleVer como página propia →
abmf(m)(b-a) f(m)función fpunto medio
La base es b−ab-a y la altura se toma en m=(a+b)/2m=(a+b)/2.
Ampliar diagrama

La base es b−ab-a y la altura se toma en m=(a+b)/2m=(a+b)/2.

Regla y error

  1. Definimos el centro del intervalo:

    m=a+b2m=\frac{a+b}{2}

  2. Aproximamos la función por la constante f(m)f(m):

    ∫abf(x) dx≈∫abf(m) dx\int_a^b f(x)\,dx\approx\int_a^b f(m)\,dx

  3. Como f(m)f(m) es constante respecto de xx, la integral es base por altura:

    M1=(b−a)f(m)=(b−a)f ⁣(a+b2)M_1=(b-a)f(m)=(b-a)f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)

  4. El término lineal de Taylor alrededor de mm no aporta área neta por simetría. El primer término que queda depende de f′′f'':

    ∫abf(x) dx−M1=(b−a)324f′′(ξ)\int_a^b f(x)\,dx-M_1=\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)
DeducciónDeducción: punto medio compuestoVer como página propia →
anchura hx₀x₁x₂x₃xₙm₀m₁m₂mᵢalturas f(m_i)
Cada rectángulo tiene anchura hh y altura f(mi)f(m_i).
Ampliar diagrama

Cada rectángulo tiene anchura hh y altura f(mi)f(m_i).

Fórmula para n subintervalos

  1. Dividimos [a,b][a,b] con paso hh:

    xi=a+ih,h=b−anx_i=a+ih,\qquad h=\frac{b-a}{n}

  2. El centro del subintervalo [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] es:

    mi=xi+xi+12=a+(i+12)hm_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}=a+\left(i+\frac12\right)h

  3. Aplicamos punto medio simple en cada subintervalo:

    Mi=hf(mi)M_i=h f(m_i)

  4. Sumamos todos los rectángulos:

    Mn=h∑i=0n−1f(mi)M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f(m_i)

  5. Sustituyendo la expresión de mim_i queda la forma computable:

    Mn=h∑i=0n−1f ⁣(a+(i+12)h)M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f\!\left(a+\left(i+\frac12\right)h\right)

  6. El error global se obtiene sumando los errores locales del punto medio simple:

    EM=h324∑i=0n−1f′′(ξi)=b−a24h2f′′(ξ)\begin{aligned}E_M&=\frac{h^3}{24}\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i)\\&=\frac{b-a}{24}h^2f''(\xi)\end{aligned}