GuíaSistemas linealesmedio

Método de Jacobi

La partición A=L+D+U, la elección M=D que define Jacobi, su esquema iterativo por componentes y un ejemplo resuelto.

Tomar M = D

Se parte $A$ en su parte estrictamente inferior $L$ , su diagonal $D$ y su parte estrictamente superior $U$ . Jacobi elige el precondicionador más simple, $M=D$ , con $N=-(L+U)$ :

A=L+D+U,\qquad x^{(k+1)}=-D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b

Por componentes, cada incógnita se despeja de su ecuación usando los valores de la iteración anterior:

x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i} a_{ij}x_j^{(k)}\right),\qquad a_{ii}\ne 0

Deducción de la matriz de iteración

DeducciónDeducción: matriz de iteración de JacobiVer como página propia →

En cada ecuación $i$ despejamos $x_i$ (posible porque $a_{ii}\ne 0$ ):
$x_i=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j\right)$
Escribiendo esto para todas las filas y separando la diagonal D de las partes L y U, aparece la forma matricial:
$x=D^{-1}\bigl(b-(L+U)x\bigr)=-D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b$
Como iteración, es el esquema de Jacobi con matriz de iteración H_J=−D⁻¹(L+U):
$x^{(k+1)}=-D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b$