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Interpolación de Newton y diferencias divididas

El polinomio de Newton construido por capas con diferencias divididas: forma lineal, cuadrática y general, tabla de diferencias, error y un ejemplo resuelto con datos reales.

La idea: un polinomio por capas

Newton escribe el polinomio de forma que cada nodo nuevo añade un término sin obligar a rehacer lo anterior. En lugar de la base de potencias se usa la base de productos acumulados:

p_n(x)=b_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots+b_n(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})

Los coeficientes $b_i$ son las diferencias divididas de orden $i$ . La forma lineal (dos puntos) fija la idea:

p_1(x)=f(x_0)+\underbrace{\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}_{f[x_1,x_0]}(x-x_0)

Diferencias divididas

En la práctica se rellena una tabla triangular: la primera columna son los $f(x_i)$ , la segunda las diferencias de primer orden, y así sucesivamente. Los coeficientes del polinomio son la diagonal superior.

Error del polinomio de Newton

Ejemplo resuelto

EjemploCenso de población (grado 4)

Con los datos de población de España (millones) en 1971, 1981, 1991, 2001 y 2011 (33.956, 37.743, 39.434, 40.847 y 46.816), estima la población en 2005 con el polinomio de Newton de mayor grado posible.

Con 5 datos el grado es 4. Calculamos las diferencias divididas (la diagonal superior de la tabla):
$\begin{aligned} f[x_0]&=33.956\\ f[x_1,x_0]&=0.3787\\ f[x_2,x_1,x_0]&=-0.01048\\ f[x_3,\dots,x_0]&=0.000303\\ f[x_4,\dots,x_0]&=0.0000127 \end{aligned}$
Montamos el polinomio de Newton con esos coeficientes:
$\begin{aligned} p_4(x)=\ &33.956+0.3787\,(x-1971)\\ &-0.01048\,(x-1971)(x-1981)\\ &+0.000303\,(x-1971)(x-1981)(x-1991)\\ &+0.0000127\,(x-1971)(x-1981)(x-1991)(x-2001) \end{aligned}$

Evaluando en 2005 se obtiene la estimación:

p_4(2005)\approx 42.315\ \text{millones}

Deducción de las diferencias divididas

DeducciónDeducción: coeficientes de Newton por diferencias divididasVer como página propia →

Partimos de la forma lineal $p_1(x)=b_0+b_1(x-x_0)$ e imponemos que pase por $(x_0,f(x_0))$ y $(x_1,f(x_1))$ :
$\begin{cases} p_1(x_0)=f(x_0)=b_0\\ p_1(x_1)=f(x_1)=b_0+b_1(x_1-x_0) \end{cases}$
De la primera ecuación $b_0=f(x_0)$ . Sustituyendo en la segunda y despejando $b_1$ :
$b_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f[x_1,x_0]$

A $b_1$ se le llama diferencia dividida de primer orden. Repetir el mismo argumento con tres puntos da la diferencia de segundo orden, y así se llega a la recursión general.

f[x_n,\dots,x_0]=\frac{f[x_n,\dots,x_1]-f[x_{n-1},\dots,x_0]}{x_n-x_0}