Método de Runge-Kutta (RK4) | Métodos Numéricos

Cuatro pendientes por paso

El método de Runge-Kutta clásico de cuarto orden evalúa la pendiente $f$ cuatro veces por paso: una al inicio, dos en el punto medio y una al final, cada una usando la anterior para estimar dónde evaluar:

\begin{aligned} k_1&=f(t_k,\,y_k)\\ k_2&=f\!\left(t_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{h}{2}k_1\right)\\ k_3&=f\!\left(t_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{h}{2}k_2\right)\\ k_4&=f(t_k+h,\,y_k+h\,k_3) \end{aligned}

y_{k+1}=y_k+\frac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr)

Runge-Kutta clásico de orden 4 (RK4).

RK4 toma una pendiente al inicio, dos estimaciones en el punto medio y una al final; la combinación ponderada imita Simpson sobre la forma integral.

Deducción

La estructura $1,2,2,1$ con denominador $6$ viene de los pesos de la regla de Simpson aplicada a la forma integral del PVI.

DeducciónDeducción: Runge-Kutta de orden 4Ver como página propia →

Las cuatro etapas de RK4 reemplazan las pendientes exactas de Simpson por evaluaciones internas encadenadas.

Integramos primero la ecuación diferencial en el subintervalo $[t_k,t_{k+1}]$ :
$\int_{t_k}^{t_{k+1}} y'(\tau)\,d\tau=\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau$
Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo al lado izquierdo queda la forma integral exacta del PVI:
$y(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau$
Aproximamos la integral con la regla de Simpson, que usa los extremos y el punto medio $t_{k+\frac12}=t_k+\frac{h}{2}$ :
$\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\,d\tau\approx\frac{h}{6}\Bigl(f(t_k,y_k)+4f\bigl(t_{k+\frac12},y_{k+\frac12}\bigr)+f(t_{k+1},y_{k+1})\Bigr)$
Problema: no conocemos ni $y_{k+\frac12}$ ni $y_{k+1}$ . La solución de Runge-Kutta es estimarlos con pendientes internas encadenadas, cada una construida avanzando con la anterior:
$\begin{aligned} k_1&=f(t_k,\,y_k)\\ k_2&=f\bigl(t_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{h}{2}k_1\bigr)\\ k_3&=f\bigl(t_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{h}{2}k_2\bigr)\\ k_4&=f(t_k+h,\,y_k+h\,k_3) \end{aligned}$
La pendiente central de Simpson se aproxima promediando las dos estimaciones del punto medio, y la final con $k_4$ :
$f\bigl(t_{k+\frac12},y_{k+\frac12}\bigr)\approx\frac{k_2+k_3}{2},\qquad f(t_{k+1},y_{k+1})\approx k_4$
Sustituyendo en Simpson, el peso $4$ del punto medio se reparte como $4\cdot\frac{k_2+k_3}{2}=2k_2+2k_3$ , y aparece el RK4 clásico con sus pesos $1,2,2,1$ :
$y_{k+1}=y_k+\frac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr)$
Un análisis de Taylor análogo al de Heun (pero hasta orden cuatro) confirma que estas aproximaciones internas conservan el error local $\mathcal{O}(h^5)$ , de modo que el método es de orden 4.

Orden 4 y coste

El precio del orden 4 son cuatro evaluaciones de $f$ por paso, frente a una de Euler. Cuando evaluar $f$ es caro, los métodos multipaso como Adams-Bashforth reutilizan pendientes ya calculadas y logran orden alto con una única evaluación nueva por paso; a cambio necesitan que un método de un paso (habitualmente RK4) les proporcione los valores de arranque.

Sistemas de EDO

La extensión a sistemas de primer orden es inmediata: se sustituyen $y_k$ y $f$ por sus versiones vectoriales $Y_k$ y $F$ , y las cuatro pendientes $K_1,\dots,K_4$ pasan a ser vectores. Con Euler, por ejemplo, $Y_{k+1}=Y_k+h\,F(t_k,Y_k)$ . El ejercicio del modelo SIR compara Euler, Heun y RK4 sobre el mismo sistema, y el ejercicio a mano integra una ecuación de segundo orden reducida a sistema.