DeducciónIntegraciónavanzado

Deducción: Gauss-Legendre de dos puntos

Cómo imponer exactitud hasta grado 3 para obtener los nodos ±1/3\pm 1/\sqrt3 y pesos 1 en [−1,1][-1,1].

Exactitud para 1, x, x² y x³

  1. Buscamos una regla simétrica en [−1,1][-1,1] con nodos −r-r y rr y pesos iguales cc, porque el intervalo y el peso w(x)=1w(x)=1 son simétricos.

    ∫−11f(x)dx≈cf(−r)+cf(r)\int_{-1}^{1}f(x)dx\approx c f(-r)+c f(r)

  2. Exigimos exactitud para f(x)=1f(x)=1:

    2=2c⟹c=12=2c\quad\Longrightarrow\quad c=1

  3. Las funciones impares xx y x3x^3 se satisfacen automáticamente por simetría. Exigimos exactitud para f(x)=x2f(x)=x^2:

    ∫−11x2dx=23=r2+r2=2r2\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}=r^2+r^2=2r^2

  4. Despejando r aparece la regla de dos puntos:

    r=13,∫−11f(x)dx≈f ⁣(−13)+f ⁣(13)r=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \int_{-1}^{1}f(x)dx\approx f\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)