DeducciónEDOmedio

Deducción: método de Euler y su orden

Tres caminos independientes llevan a la fórmula de Euler (Taylor, cociente incremental e integración), y el análisis del resto de Taylor demuestra que el método es de orden 1.

Camino 1: desarrollo de Taylor

tₖtₖ₊₁yₖyₖ₊₁pendiente actualy(t)
La lectura geométrica de Taylor de primer orden: conservar solo el término lineal equivale a avanzar por la tangente.
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La lectura geométrica de Taylor de primer orden: conservar solo el término lineal equivale a avanzar por la tangente.

  1. Desarrollamos la solución yy por Taylor alrededor de tt, con el resto en forma de Lagrange (ξ\xi entre tt y t+ht+h):

    y(t+h)=y(t)+h y′(t)+h22y′′(ξ)y(t+h)=y(t)+h\,y'(t)+\frac{h^2}{2}y''(\xi)

  2. La ecuación diferencial nos da la derivada: y′(t)=f(t,y(t))y'(t)=f(t,y(t)). Sustituyendo:

    y(t+h)=y(t)+h f(t,y(t))+h22y′′(ξ)y(t+h)=y(t)+h\,f(t,y(t))+\frac{h^2}{2}y''(\xi)

  3. Descartamos el resto h22y′′(ξ)\frac{h^2}{2}y''(\xi) (los términos de orden mayor o igual que 2) y evaluamos en los nodos t=tkt=t_k, con yk≈y(tk)y_k\approx y(t_k): queda el esquema de Euler.

    yk+1=yk+h f(tk,yk)y_{k+1}=y_k+h\,f(t_k,y_k)

Camino 2: cociente incremental

  1. La derivada es el límite del cociente incremental; para hh pequeño, ese cociente la aproxima. Así aparece la diferencia progresiva de primer orden:

    y′(t)=lim⁡h→0y(t+h)−y(t)h  ⇒  y′(t)≈y(t+h)−y(t)hy'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\;\Rightarrow\; y'(t)\approx\frac{y(t+h)-y(t)}{h}

  2. Sustituyendo la aproximación en la ecuación y′=f(t,y)y'=f(t,y) y despejando y(t+h)y(t+h) se recupera la misma fórmula:

    y(t+h)−y(t)h≈f(t,y)  ⇒  y(t+h)≈y(t)+h f(t,y)\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx f(t,y)\;\Rightarrow\; y(t+h)\approx y(t)+h\,f(t,y)

Camino 3: integración

tₖtₖ₊₁h f(tₖ, yₖ)rectángulo izquierdof(τ, y(τ))
En la forma integral, Euler explícito aproxima el área bajo f(τ,y(τ))f(\tau,y(\tau)) por un rectángulo de altura izquierda f(tk,yk)f(t_k,y_k).
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En la forma integral, Euler explícito aproxima el área bajo f(τ,y(τ))f(\tau,y(\tau)) por un rectángulo de altura izquierda f(tk,yk)f(t_k,y_k).

  1. Antes de usar el Teorema Fundamental del Cálculo, escribimos la EDO con una variable muda τ\tau e integramos ambos lados en [tk,tk+1][t_k,t_{k+1}]:

    ∫tktk+1y′(τ) dτ=∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ\int_{t_k}^{t_{k+1}} y'(\tau)\,d\tau=\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  2. Ahora el Teorema Fundamental del Cálculo convierte la integral de y′y' en la diferencia exacta de la solución:

    y(tk+1)=y(tk)+∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτy(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  3. Aproximamos el integrando por su valor en el extremo izquierdo. Es decir, lo interpolamos con el polinomio constante p0(τ)=f(tk,y(tk))p_0(\tau)=f(t_k,y(t_k)) e integramos ese rectángulo de base hh:

    ∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ  ≈  (tk+1−tk) f(tk,y(tk))=h f(tk,y(tk))\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau\;\approx\;(t_{k+1}-t_k)\,f(t_k,y(t_k))=h\,f(t_k,y(t_k))

  4. Sustituyendo en la igualdad integral aparece de nuevo el esquema de Euler. Aproximar el integrando con polinomios de grado mayor produce, por este mismo camino, Heun (trapecio), RK4 (Simpson) y los métodos de Adams.

Error local, error global y orden

  1. El error local de un paso es el resto de Taylor descartado en el Camino 1 (ξk∈ ]tk,tk+1[\xi_k\in\,]t_k,t_{k+1}[):

    ek+1=y(tk+1)−(y(tk)+h y′(tk))=h22y′′(ξk)=O(h2)e_{k+1}=y(t_{k+1})-\bigl(y(t_k)+h\,y'(t_k)\bigr)=\frac{h^2}{2}y''(\xi_k)=\mathcal{O}(h^2)

  2. Para el error global sumamos los NN errores locales. Como y′′y'' es continua, el teorema del valor intermedio permite agrupar la suma en un único punto ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]:

    ∑k=0N−1h22y′′(ξk)=h22N y′′(ξ)\sum_{k=0}^{N-1}\frac{h^2}{2}y''(\xi_k)=\frac{h^2}{2}N\,y''(\xi)

  3. Con N=b−ahN=\frac{b-a}{h}, una potencia de hh se cancela y queda el error global de orden 1: el método de Euler es de orden 1.

    h22 b−ah y′′(ξ)=b−a2 y′′(ξ) h=O(h)\frac{h^2}{2}\,\frac{b-a}{h}\,y''(\xi)=\frac{b-a}{2}\,y''(\xi)\,h=\mathcal{O}(h)