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Cuadratura numérica desde Lagrange

La idea general de la integración numérica: aproximar una integral por una suma ponderada de valores de la función, deducida al integrar el polinomio de Lagrange.

Qué problema resuelve

Muchas integrales no se calculan a mano porque la función solo está tabulada o porque su primitiva no es manejable. La cuadratura numérica reemplaza el área exacta por una combinación de alturas medidas en nodos.

I=\int_a^b f(x)\,dx\approx\sum_{i=0}^{n} a_i f(x_i)

Forma general de una regla de cuadratura.

Deducción con el polinomio interpolador

Si interpolamos $f$ con el polinomio de Lagrange $p_n$ y luego integramos, la integral de $f$ queda separada en una suma de valores $f(x_i)$ multiplicados por integrales de las bases $L_i$ .

p_n(x)=\sum_{i=0}^{n}L_i(x)f(x_i),\qquad L_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}

\int_a^b f(x)\,dx\approx\sum_{i=0}^{n} f(x_i)\int_a^b L_i(x)\,dx

Los pesos son integrales de las bases de Lagrange.

E=\frac{1}{(n+1)!}\int_a^b f^{(n+1)}(\xi(x))\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\,dx

Error de cuadratura asociado al término de interpolación.

Qué método elegir

Si los nodos son equiespaciados y se usan los extremos, aparecen las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.
Si los nodos son equiespaciados pero no se usan los extremos, aparecen las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.
Si se puede elegir dónde evaluar la función, la cuadratura de Gauss coloca nodos no equiespaciados para aumentar el grado de exactitud.
En integrales dobles, las mismas reglas se aplican por producto: una dirección y luego la otra.