DeducciónEcuaciones no linealesavanzado

Deducción: convergencia y orden del punto fijo

Desarrollar $\phi$ por Taylor alrededor del punto fijo produce la ecuación del error del método y demuestra a la vez el criterio $|\phi'(\alpha)|<1$ y el teorema del orden.

Taylor de φ alrededor del punto fijo

Sea $e_k=x_k-\alpha$ . Desarrollamos $\phi(x_k)$ por Taylor en torno a $\alpha$ y usamos que $\phi(\alpha)=\alpha$ :
$x_{k+1}=\phi(x_k)=\alpha+\phi'(\alpha)\,e_k+\frac{\phi''(\alpha)}{2}\,e_k^2+\frac{\phi'''(\alpha)}{6}\,e_k^3+\cdots$
Restando $\alpha$ queda la ecuación del error de la iteración de punto fijo:
$e_{k+1}=\phi'(\alpha)\,e_k+\frac{\phi''(\alpha)}{2}\,e_k^2+\frac{\phi'''(\alpha)}{6}\,e_k^3+\cdots$
Si $\phi'(\alpha)\ne 0$ , el término dominante es lineal: $e_{k+1}\approx\phi'(\alpha)e_k$ . Los errores se contraen si $|\phi'(\alpha)|<1$ (convergencia lineal con factor $|\phi'(\alpha)|$ ) y crecen si $|\phi'(\alpha)|>1$ : ese es el criterio de convergencia local.
Si además $\phi'(\alpha)=\phi''(\alpha)=\dots=\phi^{(p-1)}(\alpha)=0$ y $\phi^{(p)}(\alpha)\ne 0$ , todos los términos anteriores desaparecen y el primero superviviente fija el orden: es el teorema del orden de un método de punto fijo.
$e_{k+1}=\frac{\phi^{(p)}(\alpha)}{p!}\,e_k^p+\mathcal{O}\bigl(e_k^{p+1}\bigr)$
Aplicación inmediata: para Newton, $\phi=x-\frac{f}{f'}$ y $\phi'=\frac{f f''}{(f')^2}$ , que se anula en una raíz simple ( $f(\alpha)=0$ ). Como en general $\phi''(\alpha)\ne 0$ , Newton tiene orden 2, en acuerdo con la demostración directa.