DeducciónEDOavanzado

Deducción: método de Heun

Deducción completa de Heun: por el desarrollo de Taylor hasta orden dos combinado con el Taylor en dos variables de f, y por la regla del trapecio con predicción de Euler.

Camino 1: Taylor hasta orden dos

  1. Desarrollamos la solución por Taylor un orden más lejos que en Euler:

    y(t+h)=y(t)+h y′(t)+h22y′′(t)+O(h3)y(t+h)=y(t)+h\,y'(t)+\frac{h^2}{2}y''(t)+\mathcal{O}(h^3)

  2. Necesitamos y′′y''. Derivando y′(t)=f(t,y(t))y'(t)=f(t,y(t)) con la regla de la cadena:

    y′′(t)=∂f∂t(t,y)+∂f∂y(t,y) y′(t)=ft+fy fy''(t)=\frac{\partial f}{\partial t}(t,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(t,y)\,y'(t)=f_t+f_y\,f

  3. Sustituyendo y′=fy'=f e y′′=ft+fyfy''=f_t+f_y f en el desarrollo y agrupando mitad y mitad:

    y(t+h)=y(t)+h2f+h2(f+h ft+h f fy)+O(h3)y(t+h)=y(t)+\frac{h}{2}f+\frac{h}{2}\Bigl(f+h\,f_t+h\,f\,f_y\Bigr)+\mathcal{O}(h^3)

  4. El paréntesis coincide con un desarrollo de Taylor en dos variables de ff. En general, f(t+h, y+k)=f+h ft+k fy+⋯f(t+h,\,y+k)=f+h\,f_t+k\,f_y+\cdots; eligiendo el incremento k=h f(t,y)k=h\,f(t,y):

    f(t+h, y+hf(t,y))=f+h ft+h f fy+O(h2)f\bigl(t+h,\,y+h f(t,y)\bigr)=f+h\,f_t+h\,f\,f_y+\mathcal{O}(h^2)

  5. Sustituyendo el paréntesis por esa evaluación (el error h⋅O(h2)h\cdot\mathcal{O}(h^2) se absorbe en O(h3)\mathcal{O}(h^3)):

    y(t+h)=y(t)+h2f(t,y)+h2f(t+h, y+hf(t,y))+O(h3)y(t+h)=y(t)+\frac{h}{2}f(t,y)+\frac{h}{2}f\bigl(t+h,\,y+h f(t,y)\bigr)+\mathcal{O}(h^3)

  6. Evaluando en t=tkt=t_k con yk≈y(tk)y_k\approx y(t_k) y descartando O(h3)\mathcal{O}(h^3) queda el método de Heun, con error local O(h3)\mathcal{O}(h^3) y por tanto global O(h2)\mathcal{O}(h^2):

    yk+1=yk+12hf(tk,yk)⏟k1+12hf(tk+1, yk+k1)⏟k2y_{k+1}=y_k+\frac{1}{2}\underbrace{h f(t_k,y_k)}_{k_1}+\frac{1}{2}\underbrace{h f(t_{k+1},\,y_k+k_1)}_{k_2}

Camino 2: trapecio con predicción de Euler

tₖtₖ₊₁ỹₖ₊₁punto predichopromedio de pendientes
Heun interpreta el paso como un trapecio en la integral de pendientes: una pendiente se conoce y la otra se obtiene con una predicción de Euler.
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Heun interpreta el paso como un trapecio en la integral de pendientes: una pendiente se conoce y la otra se obtiene con una predicción de Euler.

  1. Partimos de la forma integral exacta del PVI en un subintervalo:

    y(tk+1)=y(tk)+∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτy(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  2. Aproximamos esa integral con la regla del trapecio:

    y(tk+1)≈yk+h2(f(tk,yk)+f(tk+1,y(tk+1)))y(t_{k+1})\approx y_k+\frac{h}{2}\Bigl(f(t_k,y_k)+f\bigl(t_{k+1},y(t_{k+1})\bigr)\Bigr)

  3. El valor y(tk+1)y(t_{k+1}) del lado derecho es desconocido. En lugar de resolver la ecuación implícita (eso sería AM2, el trapecio implícito), lo predecimos con un paso de Euler:

    yˉk+1=yk+h f(tk,yk)\bar y_{k+1}=y_k+h\,f(t_k,y_k)

  4. Sustituyendo la predicción en el trapecio se obtiene la misma fórmula que por Taylor: Heun es un par predictor-corrector de un solo paso.

    yk+1=yk+h2(f(tk,yk)+f(tk+1,yˉk+1))y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}\Bigl(f(t_k,y_k)+f(t_{k+1},\bar y_{k+1})\Bigr)