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Interpolación: idea, existencia y error

Qué es interpolar, por qué se usan polinomios, el teorema de Weierstrass, la unicidad del polinomio interpolador y la cota de error común a Newton, Lagrange y Hermite.

Qué problema resuelve la interpolación

Partimos de una tabla de datos: conocemos el valor de una función en unos pocos puntos, pero no su expresión. Interpolar consiste en construir una función sencilla, a menudo un polinomio, que pase por esos puntos para estimar valores intermedios que no medimos.

Si el punto que queremos estimar cae dentro del intervalo de los datos, hablamos de interpolación. Si cae fuera, hablamos de extrapolación, que es mucho menos fiable porque el polinomio no está controlado ahí.

Se usan polinomios porque sus derivadas e integrales vuelven a ser polinomios y son fáciles de evaluar. La siguiente forma genérica de grado $n$ es el objeto que buscamos:

p_n(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i x^i,\qquad n\ge 0,\ a_i\in\mathbb{R}

Existencia y unicidad

La interpolación usa un hecho más fuerte: dados $n+1$ puntos con abscisas distintas, existe un único polinomio de grado menor o igual que $n$ que pasa por todos ellos. Newton, Lagrange y Hermite no dan polinomios distintos: dan el mismo polinomio escrito de forma diferente, cada una cómoda para un propósito.

La cota de error

Todas las familias comparten la misma expresión de error. Si $f$ es suficientemente derivable en $[a,b]$ y $p_n$ interpola en $x_0<\dots<x_n$ , entonces para cada $x$ existe un $\xi$ en el intervalo tal que:

f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)

El error depende de dos cosas: la derivada de orden $n+1$ (propia de la función) y el producto de distancias a los nodos (propio de dónde evalúas). Cerca de los nodos el producto es pequeño; entre nodos muy separados o fuera del intervalo puede crecer mucho.