GuíaDiferenciaciónavanzado

Extrapolación de Richardson

Cómo combinar dos aproximaciones con pasos $h$ y $h/2$ para cancelar el término de error dominante y subir el orden, con las fórmulas para todos los términos y para potencias pares.

La idea: cancelar el error dominante

Si conocemos la forma del error de una aproximación $N_1(h)$ del valor exacto $M$ , podemos combinar $N_1(h)$ y $N_1(h/2)$ para eliminar el primer término del error. Repetir el proceso sube el orden cada vez.

M=N_1(h)+k_1 h+k_2 h^2+k_3 h^3+\cdots\quad(\mathcal{O}(h))

Caso general y potencias pares

Cuando el error tiene todas las potencias de h, cada paso gana un orden. Si por simetría solo hay potencias pares (como en la central), cada paso gana dos órdenes y los pesos cambian.

DeducciónDeducción: Richardson sube el ordenVer como página propia →

Partimos del error con todas las potencias y evaluamos también con paso $h/2$ :
$\begin{aligned} M&=N_1(h)+k_1 h+k_2 h^2+\cdots\\ M&=N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)+k_1\tfrac{h}{2}+k_2\tfrac{h^2}{4}+\cdots \end{aligned}$
Hacemos $2\cdot(\text{segunda})-(\text{primera})$ . El término $k_1h$ se cancela y queda un error $\mathcal{O}(h^2)$ :
$M=N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)+\left[N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-N_1(h)\right]-k_2\tfrac{h^2}{2}-\cdots$
Llamamos $N_2(h)$ a la parte conocida: es una aproximación de orden 2. Repetir con los pesos $\tfrac13$ , $\tfrac{1}{15}$ , … sube más el orden.
$N_2(h)=N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)+\left[N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-N_1(h)\right]$