GuíaEcuaciones no linealesmedio

Iteración de punto fijo

Reescribir $f(x)=0$ como $x=\phi(x)$ e iterar: cuándo converge ( $|\phi'(\alpha)|<1$ ), a qué velocidad, y el teorema que da el orden del método según las derivadas de $\phi$ que se anulan en la solución.

De f(x)=0 a x=φ(x)

Toda ecuación $f(x)=0$ puede reescribirse (de muchas formas) como un problema de punto fijo $x=\phi(x)$ : la solución $\alpha$ cumple $\phi(\alpha)=\alpha$ . El método consiste en iterar la función:

x_{k+1}=\phi(x_k),\qquad k=0,1,2,\dots

El orden depende de las derivadas de φ

DeducciónDeducción: convergencia y orden del punto fijoVer como página propia →

Sea $e_k=x_k-\alpha$ . Desarrollamos $\phi(x_k)$ por Taylor en torno a $\alpha$ y usamos que $\phi(\alpha)=\alpha$ :
$x_{k+1}=\phi(x_k)=\alpha+\phi'(\alpha)\,e_k+\frac{\phi''(\alpha)}{2}\,e_k^2+\frac{\phi'''(\alpha)}{6}\,e_k^3+\cdots$
Restando $\alpha$ queda la ecuación del error de la iteración de punto fijo:
$e_{k+1}=\phi'(\alpha)\,e_k+\frac{\phi''(\alpha)}{2}\,e_k^2+\frac{\phi'''(\alpha)}{6}\,e_k^3+\cdots$
Si $\phi'(\alpha)\ne 0$ , el término dominante es lineal: $e_{k+1}\approx\phi'(\alpha)e_k$ . Los errores se contraen si $|\phi'(\alpha)|<1$ (convergencia lineal con factor $|\phi'(\alpha)|$ ) y crecen si $|\phi'(\alpha)|>1$ : ese es el criterio de convergencia local.
Si además $\phi'(\alpha)=\phi''(\alpha)=\dots=\phi^{(p-1)}(\alpha)=0$ y $\phi^{(p)}(\alpha)\ne 0$ , todos los términos anteriores desaparecen y el primero superviviente fija el orden: es el teorema del orden de un método de punto fijo.
$e_{k+1}=\frac{\phi^{(p)}(\alpha)}{p!}\,e_k^p+\mathcal{O}\bigl(e_k^{p+1}\bigr)$
Aplicación inmediata: para Newton, $\phi=x-\frac{f}{f'}$ y $\phi'=\frac{f f''}{(f')^2}$ , que se anula en una raíz simple ( $f(\alpha)=0$ ). Como en general $\phi''(\alpha)\ne 0$ , Newton tiene orden 2, en acuerdo con la demostración directa.

Este teorema explica por qué Newton es de orden 2: su función de iteración $\phi=x-\frac{f}{f'}$ cumple $\phi'(\alpha)=0$ en una raíz simple. La definición general de orden y su medición práctica se tratan en Orden de convergencia y eficiencia.

Ejemplo: convergencia lenta

EjemploIterar φ(x)=cos²x

Resolver $x=\cos^2 x$ iterando directamente $x_{k+1}=\cos^2(x_k)$ desde $x_0=0.3$ , y estimar la velocidad de convergencia.

Los primeros iterados oscilan alrededor de la solución: $x_1=0.9127$ , $x_2=0.3741$ , $x_3=0.8665$ , $x_4=0.4193$ , $x_5=0.8343,\dots$ acercándose muy despacio a $\alpha=0.641714$ .
La velocidad la fija la derivada en el punto fijo: $\phi'(x)=-2\cos x\sin x=-\sin 2x$ , y en $\alpha$ :
$|\phi'(\alpha)|=|\sin(2\cdot 0.641714)|=0.959<1$

Converge (el signo negativo explica la oscilación), pero con factor $0.959$ : hacen falta 455 iteraciones para alcanzar un error de $10^{-9}$ . Newton resuelve la misma ecuación en 5 iteraciones; ahí se ve la diferencia entre orden 1 y orden 2.