DeducciónEDOmedio

Deducción: Euler implícito

Aproximar la derivada en el nodo nuevo con una diferencia regresiva produce el método de Euler implícito y la ecuación no lineal que hay que resolver en cada paso.

Diferencia regresiva en el nodo nuevo

tₖtₖ₊₁h f(tₖ₊₁, yₖ₊₁)rectángulo derechof(τ, y(τ))
La deducción integral de Euler implícito usa el valor del extremo derecho: la altura del rectángulo contiene la incógnita yk+1y_{k+1}.
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La deducción integral de Euler implícito usa el valor del extremo derecho: la altura del rectángulo contiene la incógnita yk+1y_{k+1}.

  1. En lugar de aproximar la derivada en tkt_k mirando hacia delante, la aproximamos en tk+1t_{k+1} mirando hacia atrás, con la diferencia regresiva:

    y′(tk+1)≈y(tk+1)−y(tk)hy'(t_{k+1})\approx\frac{y(t_{k+1})-y(t_k)}{h}

  2. Sustituimos en la ecuación diferencial evaluada en el nodo nuevo, y′(tk+1)=f(tk+1,y(tk+1))y'(t_{k+1})=f\bigl(t_{k+1},y(t_{k+1})\bigr), y despejamos:

    yk+1=yk+h f(tk+1,yk+1)y_{k+1}=y_k+h\,f(t_{k+1},y_{k+1})

  3. El mismo esquema sale integrando la forma integral del PVI y aproximando el integrando por su valor en el extremo derecho (rectángulo por la derecha), en paralelo exacto al Camino 3 de la deducción del Euler explícito.

  4. Como yk+1y_{k+1} aparece dentro de ff, cada paso exige resolver una ecuación (en general no lineal) en la incógnita yk+1y_{k+1}, por ejemplo con el método de Newton-Raphson:

    g(yk+1)=yk+1−yk−h f(tk+1,yk+1)=0g(y_{k+1})=y_{k+1}-y_k-h\,f(t_{k+1},y_{k+1})=0