GuíaInterpolaciónavanzado

Interpolación de Hermite

Interpolación que impone valor y derivada en cada nodo: el polinomio H2n+1H_{2n+1}, su construcción a partir de las bases de Lagrange, el error, la vía práctica por diferencias divididas con nodos repetidos y un ejemplo con funciones de Bessel.

Qué añade Hermite

Hasta ahora forzábamos que el polinomio pasara por los puntos. Si además conocemos la derivada de ff en esos puntos, podemos imponerla también: eso controla la pendiente y suele mejorar mucho la aproximación.

Hi(x)=[1−2(x−xi)Li′(xi)]Li2(x),H^i(x)=(x−xi)Li2(x)H_{i}(x)=\bigl[1-2(x-x_i)L_i'(x_i)\bigr]L_i^2(x),\qquad \hat H_{i}(x)=(x-x_i)L_i^2(x)
Bloques base construidos a partir de las funciones de Lagrange y sus derivadas.

Procedimiento y error

Cinco pasos

  1. Calcular las funciones de Lagrange Li(x)L_i(x).

  2. Derivarlas para obtener Li′(x)L_i'(x).

  3. Formar los bloques Hi(x)H_i(x).

  4. Formar los bloques H^i(x)\hat H_i(x).

  5. Sumar todo para obtener H2n+1(x)H_{2n+1}(x).