GuíaEDOavanzado

Convergencia, consistencia y orden

Errores de truncamiento local y global, definición de convergencia y consistencia, órdenes teóricos de los métodos de un paso y cómo estimar el orden numéricamente, con o sin solución exacta.

Errores en la resolución numérica

Al reemplazar un proceso infinito (el desarrollo de Taylor completo, la integral exacta) por uno finito, cada paso comete un error de truncamiento local $L_k(h)$ . El error de truncamiento global acumula los $N$ errores locales:

L(h)=\frac{1}{h}\max_{1\le k\le N}|L_k(h)|

El error global pierde una potencia de

h

respecto al local: acumular

N\propto 1/h

pasos multiplica por ese factor.

A este error se suma el error de redondeo de la aritmética finita. Si se conoce la solución exacta, el error total en cada nodo es $e_k=y(t_k)-y_k$ .

Convergencia y consistencia

La consistencia mira un solo paso; la convergencia, el proceso completo. Para que un método consistente converja hace falta además estabilidad: que los errores no se amplifiquen al propagarse, cosa que puede fallar con pasos grandes incluso en métodos consistentes, como muestra el ejercicio de estabilidad de Euler.

Órdenes teóricos

Método	Error local	Error global (orden)
Euler	$\mathcal{O}(h^2)$	$\mathcal{O}(h)$
Euler implícito	$\mathcal{O}(h^2)$	$\mathcal{O}(h)$
Heun	$\mathcal{O}(h^3)$	$\mathcal{O}(h^2)$
RK4	$\mathcal{O}(h^5)$	$\mathcal{O}(h^4)$

Órdenes de los métodos de un paso (con

y

suficientemente regular).

Estimación numérica del orden

Si se conoce la solución exacta, se calcula el error máximo $E_N=\max_{1\le k\le N}|y(t_k)-y_k|$ para varios valores de $N$ , duplicando cada vez. El orden aparece como límite del cociente logarítmico:

\text{orden}\;\approx\;\log_2\!\left(\frac{E_{N/2}}{E_N}\right)

Si no se conoce la solución exacta, se comparan dos soluciones discretas consecutivas: la de $N$ subintervalos contra la de $2N$ evaluada en los mismos nodos, $\varepsilon_N=\max_k\bigl|y^{(N)}_k-y^{(2N)}_{2k}\bigr|$ , y se aplica el mismo cociente logarítmico a los $\varepsilon_N$ . El ejercicio de estimación del orden aplica ambas técnicas a Euler, Heun y RK4.