Deducción: Newton-Raphson y su orden cuadrático

En el iterado actual $x_k$, la recta tangente a la curva $y=f(x)$ es

La tangente es la mejor aproximación lineal de $f$ cerca de $x_k$, así que tomamos como siguiente iterado el punto donde la tangente se anula ($y=0$):

Escribimos $f$ mediante el Teorema Fundamental del Cálculo desde $x_k$ y aproximamos la integral con un rectángulo (integrando constante $f'(x_k)$, la misma idea que en la deducción de Euler):

Evaluamos en $x=\alpha$, donde $f(\alpha)=0$, y despejamos $\alpha$:

Esa aproximación de $\alpha$ es el siguiente iterado. Aproximar la integral con cuadraturas más ricas (trapecio, punto medio, Simpson) produce métodos de orden mayor por esta misma vía.

Sea $\alpha$ raíz simple ($f(\alpha)=0$, $f'(\alpha)\ne 0$), $e_k=x_k-\alpha$ el error y $c_2=\frac{1}{2}\frac{f''(\alpha)}{f'(\alpha)}$. Desarrollamos $f(x_k)$ por Taylor en torno a $\alpha$; el término constante $f(\alpha)$ desaparece:

Desarrollamos también la derivada:

Dividimos ambos desarrollos. El factor $f'(\alpha)$ se cancela y, usando $\frac{1}{1+2c_2e_k}=1-2c_2e_k+\mathcal{O}(e_k^2)$:

Restamos $\alpha$ en la fórmula de Newton y sustituimos: los términos lineales en $e_k$ se cancelan y queda la ecuación del error cuadrática. El método de Newton tiene orden $p=2$.