DeducciónIntegraciónmedio

Deducción: regla del trapecio

Integrar el interpolante lineal de Lagrange en [a,b] para obtener la regla del trapecio y su interpretación geométrica.

Integrar la recta interpolante

Queremos aproximar ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx usando solo los valores de la función en los extremos. La idea consiste en sustituir la curva por la recta que pasa por (a,f(a))(a,f(a)) y (b,f(b))(b,f(b)), e integrar esa recta.

abf(a)f(b)recta interpolantefunción fárea aproximada
La curva se sustituye por la recta interpolante. El área bajo esa recta es la aproximación por trapecio.
Ampliar diagrama

La curva se sustituye por la recta interpolante. El área bajo esa recta es la aproximación por trapecio.

Deducción con Lagrange

  1. Tomamos los nodos extremos x0=ax_0=a y x1=bx_1=b, con h=b−ah=b-a. Las bases lineales de Lagrange valen 1 en su nodo y 0 en el otro:

    L0(x)=x−ba−b,L1(x)=x−ab−aL_0(x)=\frac{x-b}{a-b},\qquad L_1(x)=\frac{x-a}{b-a}

  2. El interpolante lineal queda como combinación de los valores conocidos:

    p1(x)=f(a)L0(x)+f(b)L1(x)p_1(x)=f(a)L_0(x)+f(b)L_1(x)

  3. Aproximamos la integral de ff por la integral de p1p_1. Los pesos de la fórmula son las integrales de las bases:

    I≈f(a)∫abL0(x) dx+f(b)∫abL1(x) dxI\approx f(a)\int_a^b L_0(x)\,dx+f(b)\int_a^b L_1(x)\,dx

  4. Calculamos el primer peso con el cambio s=x−as=x-a. Entonces x−b=s−hx-b=s-h, a−b=−ha-b=-h, dx=dsdx=ds y los límites pasan de x=a,bx=a,b a s=0,hs=0,h:

    ∫abL0(x) dx=∫abx−ba−b dx=∫0hh−sh ds=1h[hs−s22]0h=h2\begin{aligned}\int_a^b L_0(x)\,dx&=\int_a^b\frac{x-b}{a-b}\,dx\\&=\int_0^h\frac{h-s}{h}\,ds\\&=\frac{1}{h}\left[hs-\frac{s^2}{2}\right]_0^h=\frac{h}{2}\end{aligned}

  5. Calculamos el segundo peso con el mismo cambio. Ahora x−a=sx-a=s y b−a=hb-a=h:

    ∫abL1(x) dx=∫abx−ab−a dx=∫0hsh ds=1h[s22]0h=h2\begin{aligned}\int_a^b L_1(x)\,dx&=\int_a^b\frac{x-a}{b-a}\,dx\\&=\int_0^h\frac{s}{h}\,ds=\frac{1}{h}\left[\frac{s^2}{2}\right]_0^h=\frac{h}{2}\end{aligned}

  6. Los dos pesos son h/2h/2. Al sustituirlos en la fórmula de cuadratura aparece la regla del trapecio simple:

    ∫abf(x) dx≈h2[f(a)+f(b)]\int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)\right]
ab1L₀(x)área h/2ab1L₁(x)área h/2
Cada base de Lagrange tiene área h/2h/2 en [a,b][a,b]. Por eso los dos extremos reciben el mismo peso.
Ampliar diagrama

Cada base de Lagrange tiene área h/2h/2 en [a,b][a,b]. Por eso los dos extremos reciben el mismo peso.

Lectura geométrica

  1. La integral de p1p_1 es el área bajo una recta. Esa región es un trapecio de base h=b−ah=b-a y alturas paralelas f(a)f(a) y f(b)f(b).

    Atrapecio=base2(altura1+altura2)A_{\text{trapecio}}=\frac{\text{base}}{2}\left(\text{altura}_1+\text{altura}_2\right)

  2. Al identificar base y alturas se obtiene la misma expresión que por Lagrange:

    Atrapecio=b−a2[f(a)+f(b)]A_{\text{trapecio}}=\frac{b-a}{2}\left[f(a)+f(b)\right]
abbase h=b-af(a)f(b)A = h(f(a)+f(b))/2
La fórmula coincide con el área de un trapecio: base por la media de las dos alturas.
Ampliar diagrama

La fórmula coincide con el área de un trapecio: base por la media de las dos alturas.

Término de error

  1. Si f∈C2[a,b]f\in\mathcal{C}^2[a,b], el error de interpolación lineal en cada punto tiene esta forma:

    f(x)−p1(x)=f′′(ξx)2(x−a)(x−b)f(x)-p_1(x)=\frac{f''(\xi_x)}{2}(x-a)(x-b)

  2. Integramos el producto que acompaña a f′′f''. Con s=x−as=x-a queda (x−a)(x−b)=s(s−h)(x-a)(x-b)=s(s-h):

    ∫ab(x−a)(x−b) dx=∫0hs(s−h) ds=−h36\int_a^b(x-a)(x-b)\,dx=\int_0^h s(s-h)\,ds=-\frac{h^3}{6}

  3. Por el teorema del valor medio para integrales, existe ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) tal que:

    ∫abf(x) dx−h2[f(a)+f(b)]=−h312f′′(ξ)\int_a^b f(x)\,dx-\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)\right]=-\frac{h^3}{12}f''(\xi)

  4. La regla es de orden 2 local: el error depende de la curvatura de ff y crece como (b−a)3(b-a)^3 en un solo intervalo.