GuíaSistemas no linealesmedio

Newton para sistemas no lineales

La versión vectorial del método de Newton: la derivada pasa a ser la matriz jacobiana, el cociente se convierte en un sistema lineal por iteración, y el orden cuadrático se conserva.

De la derivada al jacobiano

En el Newton escalar se divide por f′(xk)f'(x_k), pero entre matrices no hay cocientes: el papel de f′f' lo asume la matriz jacobiana F′(X)F'(X), con entradas [F′(X)]ij=∂fi∂xj(X)\bigl[F'(X)\bigr]_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(X), y el cociente se sustituye por la inversa:

x(k+1)=x(k)−[F′(x(k))]−1F(x(k)),k=0,1,2,…x^{(k+1)}=x^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)}),\qquad k=0,1,2,\dots
Método de Newton para sistemas.
DeducciónDeducción: Newton para sistemas por linealizaciónVer como página propia →

Linealizar y anular

  1. La matriz jacobiana reúne todas las derivadas parciales primeras de las funciones coordenadas:

    F′(X)=[∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋮∂fn∂x1⋯∂fn∂xn]F'(X)=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}

  2. El desarrollo de Taylor multivariante de primer orden alrededor del iterado actual x(k)x^{(k)} es la versión vectorial de la recta tangente de la deducción escalar:

    F(X)≈F(x(k))+F′(x(k))(X−x(k))F(X)\approx F\bigl(x^{(k)}\bigr)+F'\bigl(x^{(k)}\bigr)\bigl(X-x^{(k)}\bigr)

  3. Buscamos el punto que anula esa aproximación lineal (el análogo de cortar el eje con la tangente). Igualando a cero y despejando, con la inversa del jacobiano en lugar del cociente:

    x(k+1)=x(k)−[F′(x(k))]−1F(x(k))x^{(k+1)}=x^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F\bigl(x^{(k)}\bigr)

Ejemplo: montar F y su jacobiano

EjemploUn sistema 2×2

Escribir en la forma F(X)=0F(X)=0 el sistema exey+xcos⁡y=0e^xe^y+x\cos y=0, x+y=1x+y=1, y calcular su matriz jacobiana.

  1. Se pasa todo al lado izquierdo:

    F(X)=[exey+xcos⁡yx+y−1]=[00]F(X)=\begin{bmatrix} e^xe^y+x\cos y\\ x+y-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

  2. Derivando cada componente respecto de cada variable:

    F′(X)=[exey+cos⁡yexey−xsin⁡y11]F'(X)=\begin{bmatrix} e^xe^y+\cos y & e^xe^y-x\sin y\\ 1 & 1 \end{bmatrix}

Este sistema se resuelve con Newton en el ejercicio resuelto. Obsérvese que sobre la restricción x+y=1x+y=1 se cumple exey=ex+y=ee^xe^y=e^{x+y}=e: en la solución, xcos⁡(1−x)=−ex\cos(1-x)=-e.

Nunca se invierte el jacobiano

En la práctica, [F′(x(k))]−1F(x(k))[F'(x^{(k)})]^{-1}F(x^{(k)}) no se calcula invirtiendo la matriz: es mucho más barato resolver en cada iteración el sistema lineal

[F′(x(k))] u=F(x(k)),x(k+1)=x(k)−u\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]\,u=F(x^{(k)}),\qquad x^{(k+1)}=x^{(k)}-u

Resolver un sistema no lineal exige, por tanto, resolver un sistema lineal por iteración: los dos temas están encadenados. El coste de esa resolución (n33+n2−n3\frac{n^3}{3}+n^2-\frac{n}{3} productos/cocientes por eliminación gaussiana) domina el coste total del método y protagoniza el análisis de eficiencia.

Adaptaciones por cuadratura

Los métodos escalares basados en cuadraturas se adaptan de forma directa con la misma sustitución cociente → sistema lineal. Con y(k)=x(k)−[F′(x(k))]−1F(x(k))y^{(k)}=x^{(k)}-[F'(x^{(k)})]^{-1}F(x^{(k)}) (un paso de Newton como predictor):

x(k+1)=x(k)−2[F′(y(k))+F′(x(k))]−1F(x(k))x^{(k+1)}=x^{(k)}-2\bigl[F'(y^{(k)})+F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)})
Método de trapecios para sistemas.
x(k+1)=x(k)−[F′ ⁣(x(k)+y(k)2)]−1F(x(k))x^{(k+1)}=x^{(k)}-\left[F'\!\left(\frac{x^{(k)}+y^{(k)}}{2}\right)\right]^{-1}F(x^{(k)})
Método del punto medio para sistemas.
x(k+1)=x(k)−6[F′(x(k))+4F′ ⁣(x(k)+y(k)2)+F′(y(k))]−1F(x(k))x^{(k+1)}=x^{(k)}-6\left[F'(x^{(k)})+4F'\!\left(\frac{x^{(k)}+y^{(k)}}{2}\right)+F'(y^{(k)})\right]^{-1}F(x^{(k)})
Método de Simpson para sistemas.