Errores en cálculo numérico
Por qué toda solución numérica es aproximada, las dos familias de error (redondeo y truncamiento) y cómo medirlo: error numérico, porcentual e iterativo.
Guías de teoría
Explicaciones con definiciones, teoremas, deducciones y ejemplos resueltos, tema por tema.
Fundamentos
Cifras significativas y redondeo
Cómo contar cifras significativas para números mayores y menores que 1 y en notación científica, y de dónde vienen los errores de redondeo de una máquina.
Taylor y el error de truncamiento
El teorema de Taylor y su residuo, por qué el residuo es el error de truncamiento, y cómo de aquí nacen las diferencias finitas que usará toda la asignatura.
Interpolación
Interpolación: idea, existencia y error
Qué es interpolar, por qué se usan polinomios, el teorema de Weierstrass, la unicidad del polinomio interpolador y la cota de error común a Newton, Lagrange y Hermite.
Interpolación de Newton y diferencias divididas
El polinomio de Newton construido por capas con diferencias divididas: forma lineal, cuadrática y general, tabla de diferencias, error y un ejemplo resuelto con datos reales.
Interpolación de Lagrange
Las funciones base de Lagrange, la propiedad cardinal que las define, el polinomio como combinación directa de los datos, su error y un ejemplo resuelto con los datos del censo.
Interpolación de Hermite
Interpolación que impone valor y derivada en cada nodo: el polinomio , su construcción a partir de las bases de Lagrange, el error, la vía práctica por diferencias divididas con nodos repetidos y un ejemplo con funciones de Bessel.
Splines cúbicos
Interpolación a trozos con un cúbico por tramo: las condiciones de continuidad, el sistema tridiagonal que determina los coeficientes, los splines naturales y su resolución.
Diferenciación
Diferencias finitas: la primera derivada
Fórmulas progresiva, regresiva y central para la primera derivada, sus versiones de tres y cinco puntos, el orden del error y una comparación numérica que sorprende.
Derivadas de orden superior
Aproximaciones de la segunda (y tercera) derivada por diferencias finitas progresivas, regresivas y centrales, con su orden de error.
Extrapolación de Richardson
Cómo combinar dos aproximaciones con pasos y para cancelar el término de error dominante y subir el orden, con las fórmulas para todos los términos y para potencias pares.
Integración
Cuadratura numérica desde Lagrange
La idea general de la integración numérica: aproximar una integral por una suma ponderada de valores de la función, deducida al integrar el polinomio de Lagrange.
Newton-Cotes cerradas: trapecio, Simpson y más
Reglas cerradas para nodos equiespaciados que incluyen los extremos: trapecio, Simpson 1/3, Simpson 3/8, Milne y sus errores.
Newton-Cotes abiertas y punto medio
Reglas abiertas que evitan los extremos del intervalo, con especial atención al punto medio simple y compuesto.
Cuadraturas de Gauss
Cómo las cuadraturas de Gauss eligen nodos y pesos óptimos mediante polinomios ortogonales: Legendre, Chebyshev, Laguerre y Hermite.
Integración múltiple numérica
Cómo extender trapecio, Simpson y Gauss-Legendre a integrales dobles mediante reglas de producto y cambios de variable.
EDO
Problemas de valor inicial
Qué es un PVI, cuándo tiene solución única (condición de Lipschitz), cómo se discretiza, y cómo los sistemas y las ecuaciones de orden superior se reducen al mismo esquema.
Método de Euler
El método de un paso más simple: avanzar con la pendiente del nodo actual. Deducción completa por tres caminos (Taylor, cociente incremental e integración), orden, ejemplo a mano y la variante implícita.
Método de Heun
Promediar la pendiente inicial y una pendiente predicha da un método de orden 2. Deducción completa por Taylor de orden dos y por la regla del trapecio con predicción de Euler.
Método de Runge-Kutta (RK4)
El Runge-Kutta clásico combina cuatro pendientes por paso para alcanzar orden 4. Deducción completa a partir de la regla de Simpson y extensión directa a sistemas de EDO.
Convergencia, consistencia y orden
Errores de truncamiento local y global, definición de convergencia y consistencia, órdenes teóricos de los métodos de un paso y cómo estimar el orden numéricamente, con o sin solución exacta.
Métodos de Adams-Bashforth
Métodos multipaso explícitos que integran la EDO aproximando f por su polinomio de interpolación sobre nodos ya calculados: deducción completa de AB2 con Lagrange, las fórmulas AB3 y AB4, su orden y cómo arrancarlos.
Métodos de Adams-Moulton
Métodos multipaso implícitos que incluyen el nodo nuevo en la interpolación: deducción completa de AM2 (trapecio implícito), AM4, por qué exigen resolver una ecuación no lineal y qué ganan a cambio.
Métodos predictor-corrector
Combinar un método explícito (predictor) con uno implícito del mismo orden (corrector) para tener la precisión y estabilidad del implícito sin resolver ecuaciones: ABM2 y ABM4.
Problemas rígidos y estabilidad
Qué hace rígida a una EDO, por qué los métodos explícitos se vuelven inestables con pocos puntos, y por qué se prefieren métodos implícitos, de orden bajo y paso adaptativo.
Sistemas lineales
Sistemas lineales: error, residuo y condición
Métodos directos frente a iterativos para Ax=b, la diferencia entre error y residuo, el criterio de parada por residuo y por qué el número de condición decide si es fiable.
Método de Jacobi
La partición A=L+D+U, la elección M=D que define Jacobi, su esquema iterativo por componentes y un ejemplo resuelto.
Método de Gauss-Seidel
La elección M=D+L, que reutiliza cada componente recién calculada dentro de la misma iteración, y por qué suele converger más rápido que Jacobi.
Convergencia y radio espectral
La condición que decide la convergencia, el criterio suficiente de diagonal estrictamente dominante y el radio de convergencia que mide la velocidad.
Métodos de sobre-relajación (SOR)
Cómo un parámetro de relajación ω acelera los métodos clásicos: Jacobi relajado (JSOR) y SOR, que generaliza Gauss-Seidel (ω=1).
Ecuaciones no lineales
Ecuaciones no lineales: el problema y los métodos iterativos
Qué significa resolver , por qué se recurre a métodos iterativos, cómo se clasifican (memoria, puntos, derivadas) y con qué criterios se detiene la iteración.
Método de bisección
El método más robusto: partir en dos el intervalo que encierra la raíz y quedarse con la mitad donde cambia el signo. Cota de error explícita y convergencia garantizada.
Iteración de punto fijo
Reescribir como e iterar: cuándo converge (), a qué velocidad, y el teorema que da el orden del método según las derivadas de que se anulan en la solución.
Método de Newton-Raphson
El método iterativo de referencia: linealizar f en el iterado actual y saltar a la raíz de la tangente. Deducción completa por tres caminos y demostración del orden cuadrático con su ecuación del error.
Métodos sin derivadas: secante y Steffensen
Cuando no está disponible se sustituye por una diferencia dividida: con dos iterados anteriores (secante, orden ) o con una evaluación auxiliar (Steffensen, orden 2).
Orden de convergencia y eficiencia
Definición del orden de convergencia y la ecuación del error, sus estimadores computacionales COC y ACOC, los índices de eficiencia y la conjetura de Kung-Traub que define los métodos óptimos.
Métodos de alto orden: Halley, Traub, Ostrowski y Jarratt
Tres técnicas para diseñar métodos iterativos más rápidos que Newton: fórmulas de cuadratura, composición de esquemas (con derivada congelada) y funciones peso, con las familias Chebyshev-Halley y King.
Sistemas no lineales
Sistemas de ecuaciones no lineales
El problema en varias variables: métodos de punto fijo vectoriales, orden de convergencia con normas, ACOC multidimensional y criterios de parada.
Newton para sistemas no lineales
La versión vectorial del método de Newton: la derivada pasa a ser la matriz jacobiana, el cociente se convierte en un sistema lineal por iteración, y el orden cuadrático se conserva.
Coste y eficiencia en dimensión n
Contabilidad del coste por iteración en sistemas: evaluaciones por , por jacobiano, coste de los sistemas lineales, índices de eficiencia y la conjetura de optimalidad multidimensional.
Alto orden en sistemas: Traub, Golden Ratio, NA, Jarratt y RN
Composición con Newton y jacobiano congelado: cómo ganar un orden por composición sin evaluar jacobianos nuevos, y las familias Traub, Golden Ratio, NA, Jarratt vectorial y RN (orden 5-6).