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Taylor y el error de truncamiento

El teorema de Taylor y su residuo, por qué el residuo es el error de truncamiento, y cómo de aquí nacen las diferencias finitas que usará toda la asignatura.

El teorema de Taylor

La serie de Taylor desarrolla una función alrededor de un punto a como un polinomio. Al tomar solo los primeros n términos cometemos un error de truncamiento, que el teorema cuantifica con un término de residuo.

Si x−a es del orden de un paso h, el residuo es del orden de h^{n+1}. Ese exponente es el orden del método, y Taylor es la herramienta que lo justifica en diferencias finitas, cuadratura y EDO.

De Taylor a las diferencias finitas

Para aproximar derivadas se discretiza el intervalo en nodos equiespaciados xi=a+ihx_i=a+ih, con paso h=b−anh=\frac{b-a}{n}. Truncando Taylor en primer orden entre nodos vecinos aparecen las diferencias finitas, que se estudian en detalle en diferenciación numérica.

xi=a+ih,h=b−an,i=0,1,…,nx_i=a+ih,\qquad h=\frac{b-a}{n},\qquad i=0,1,\dots,n
DeducciónDeducción: diferencias finitas desde TaylorVer como página propia →

  1. Tomamos Taylor con a=xia=x_i y x=xi+1x=x_{i+1}, quedándonos en primer orden. Despejando la derivada obtenemos la diferencia progresiva:

    f(xi+1)=f(xi)+f′(xi)(xi+1−xi)+R1 ⟹ f′(xi)≈f(xi+1)−f(xi)xi+1−xif(x_{i+1})=f(x_i)+f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)+R_1\ \Longrightarrow\ f'(x_i)\approx\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}

  2. Con a=xi−1a=x_{i-1} y x=xix=x_i (mirando hacia atrás) sale la diferencia regresiva:

    f′(xi)≈f(xi)−f(xi−1)xi−xi−1f'(x_i)\approx\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}

  3. Restando el desarrollo progresivo menos el regresivo se cancela el término par y aparece la diferencia central, más precisa. Con nodos equiespaciados (paso h), x_{i+1}−x_{i−1}=2h:

    f′(xi)≈f(xi+1)−f(xi−1)xi+1−xi−1=f(xi+1)−f(xi−1)2hf'(x_i)\approx\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{x_{i+1}-x_{i-1}}=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}