DeducciónEcuaciones no linealesbase

Deducción: cota de error de la bisección

Por qué el error de la bisección se reduce a la mitad en cada iteración, y cómo predecir de antemano cuántas iteraciones exige una tolerancia dada.

El error se divide entre dos

  1. Tras kk bisecciones, el intervalo [ak,bk][a_k,b_k] sigue conteniendo la raíz y mide la mitad que el anterior:

    bk−ak=b−a2kb_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}

  2. La aproximación es el punto medio mkm_k, y la raíz está en alguna de las dos mitades, a distancia como mucho la mitad del intervalo:

    ∣mk−α∣≤bk−ak2=b−a2k+1|m_k-\alpha|\le\frac{b_k-a_k}{2}=\frac{b-a}{2^{k+1}}

  3. Para garantizar ∣mk−α∣<ε|m_k-\alpha|<\varepsilon basta despejar kk de b−a2k+1<ε\frac{b-a}{2^{k+1}}<\varepsilon: el número de iteraciones se conoce antes de empezar, cosa que ningún otro método de esta área ofrece.

    k>log⁡2 ⁣(b−aε)−1k>\log_2\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1