EjercicioEDOmedio

Ejercicio: EDO de segundo orden como sistema, a mano

Reducir y''−sin y=0 a un sistema de primer orden y aproximar y(3) con dos pasos de Euler y con un paso de RK4 vectorial.

Reducción a sistema

Se considera $y''-\sin y=0$ con $y(1)=2$ e $y'(1)=0$ , y se quiere aproximar $y(3)$ . Con las variables $y_1=y$ , $y_2=y'$ de la reducción estándar, el sistema y su condición inicial son:

Y'=F(t,Y)=\begin{bmatrix} y_2 \\ \sin y_1 \end{bmatrix},\qquad Y(1)=\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}

Dos pasos de Euler vectorial

EjemploEuler con h=1

Aplicar dos pasos de Euler explícito con $h=1$ al sistema, desde $Y_0=[2,0]^T$ .

Primer paso: $F(1,[2,0]^T)=[0,\ \sin 2]^T=[0,\ 0.9093]^T$ .
$Y_1=\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}+1\cdot\begin{bmatrix}0\\0.9093\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\0.9093\end{bmatrix}$
Segundo paso: $F(2,[2,\ 0.9093]^T)=[0.9093,\ \sin 2]^T=[0.9093,\ 0.9093]^T$ .
$Y_2=\begin{bmatrix}2\\0.9093\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0.9093\\0.9093\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2.9093\\1.8186\end{bmatrix}$

La primera componente aproxima la solución: $y(3)\approx 2.9093$ .

Un paso de RK4 vectorial

EjemploRK4 con h=2

Aplicar un paso de RK4 con $h=2$ al mismo sistema, desde $Y_0=[2,0]^T$ en $t_0=1$ .

$K_1=F(1,[2,\ 0]^T)=[0,\ 0.9093]^T$ .
$K_2=F\bigl(2,\ [2,0]^T+1\cdot K_1\bigr)=F(2,[2,\ 0.9093]^T)=[0.9093,\ 0.9093]^T$ .
$K_3=F\bigl(2,\ [2,0]^T+1\cdot K_2\bigr)=F(2,[2.9093,\ 0.9093]^T)=[0.9093,\ 0.2302]^T$ , porque $\sin 2.9093=0.2302$ .
$K_4=F\bigl(3,\ [2,0]^T+2\cdot K_3\bigr)=F(3,[3.8186,\ 0.4604]^T)=[0.4604,\ -0.6265]^T$ .
Combinación final componente a componente:
$Y_1=Y_0+\frac{2}{6}\bigl(K_1+2K_2+2K_3+K_4\bigr)=\begin{bmatrix}3.3659\\0.8540\end{bmatrix}$

RK4 da $y(3)\approx 3.3659$ (y $y'(3)\approx 0.8540$ ). De nuevo el método de orden alto corrige sustancialmente la estimación de Euler con el mismo coste en evaluaciones.