Ejercicio: Newton para un sistema, a mano

Aproximar con dos pasos de Newton la solución positiva del sistema $x^2+y^2=1$, $x-y=0$, partiendo de $x^{(0)}=(1,1)$. La solución exacta es $\alpha=\bigl(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\bigr)=(0.7071068,\,0.7071068)$.

1. Función y jacobiano:

   $$F(x,y)=\begin{bmatrix}x^2+y^2-1\\ x-y\end{bmatrix},\qquad F'(x,y)=\begin{bmatrix}2x & 2y\\ 1 & -1\end{bmatrix}$$

2. Primer paso: en $(1,1)$, $F=(1,0)^T$ y el sistema lineal $F'u=F$ es $2u_1+2u_2=1$, $u_1-u_2=0$, con solución $u=(\tfrac14,\tfrac14)$:

   $$x^{(1)}=(1,1)-\bigl(\tfrac14,\tfrac14\bigr)=(0.75,\;0.75)$$

3. Segundo paso: en $(0.75,0.75)$, $F=(0.125,\,0)^T$ y el sistema es $1.5\,u_1+1.5\,u_2=0.125$, $u_1-u_2=0$, es decir, $u=(\tfrac{1}{24},\tfrac{1}{24})$:

   $$x^{(2)}=(0.75,\;0.75)-\bigl(\tfrac{1}{24},\tfrac{1}{24}\bigr)=(0.7083333,\;0.7083333)$$